שינויים
/* מערכת מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים */
*נניח למשל יש לנו שני חומרים A,B שמתפרקים בקצב <math>\alpha,\beta</math> אחד לשני.
*לכן <math>\begin{cases}A'=\beta B - \alpha A \\ B' = \alpha A - \beta B\end{cases}</math>
*נסמן את שתי הפונקציות ב<math>y_1,y_2</math> ונניח כי <math>\alpha =1, \beta=2</math>.
*נקבל את המערכת <math>\vec{y}'=A\vec{y}</math> כלומר <math>\begin{pmatrix}y_1'\\y_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} </math>
*נראה כיצד לכסון המטריצה A יעזור לנו לפתור את המערכת.
*במקרה בו A אינה לכסינה לא נטפל, אך אפשר לפתור אותו באופן כללי.
*עבור ו"ע מתקיים כי <math>A\vec{v}=\lambda \vec{v}</math>.
*כיוון שהוקטור <math>\vec{v}</math> הוא וקטור קבועים, <math>\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)'=\lambda\vec{v}e^{\lambda x} = A\left(\vec{v}e^{\lambda x}\right)</math>.
*כלומר, <math>\vec{y}=\vec{v}e^{\lambda x}</math> הוא פתרון למערכת.
*בחזרה לדוגמא:
**הע"ע של <math>\begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 1 &-2\end{pmatrix}</math> הם <math>0,-3</math>.
**הו"ע המתאימים הם <math>\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math>
**הפתרון הכללי הוא <math>\vec{y}=c_1\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}e^0+c_2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}e^{-3x}</math>
**כלומר <math>y_1=c_1+c_2e^{-3x}</math> ו<math>y_2=c_1-c_2e^{-3x}</math>
====שתי מסות על קפיץ====
*נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
*נניח כי <math>y_1,y_2</math> מודדות את מיקום המסות, כאשר מיקום אפס שונה בין שתי המסות אך צד ימין הוא החיובי בשתיהן.
*נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
*נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
*לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''=-k(y_2-y_1)\end{cases}</math>
*נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>.
*הע"ע של A הינם <math>0,-2k</math>.
*עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>0</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=0</math>.
**לכן אם נבחר <math>\vec{y}=\vec{v}(c_1x+c_2)</math> נקבל כי <math>\vec{y}''=0=A\vec{v}(c_1x+c_2)</math>
*עבור הו"ע <math>\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}</math> המתאים לע"ע <math>-2k</math> מתקיים כי <math>A\vec{v}=-2k\vec{v}</math>.
**לכן אם נבחר <math>\vec{y}=\vec{v}e^{\pm i\sqrt{k}t}</math> נקבל <math>\vec{y}''=-k\vec{v}e^{\pm i\sqrt{k}t}=A\vec{y}</math>.
**לכן <math>\vec{y}=\left(c_3cos\left(\sqrt{k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{k}t\right)\right)\vec{v}</math> הוא פתרון למשוואה.
*ביחד קיבלנו פתרון כללי <math>\vec{y}=(c_1x+c_2)\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\left(c_3cos\left(\sqrt{k}t\right)+c_4sin\left(\sqrt{k}t\right)\right)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} </math>
====קשר בין מד"ר מסדר גבוה למערכת מד"ר====
