שינויים
/* הדלתא של דירק */
*נחשב את התמרת הלפלס של הדלתא של דירק:
*לכל <math>a\geq 0</math> מתקיים <math>\mathcal{L}(\delta(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}\delta(t-a)dt=e^{-sa}</math>
*בפרט <math>\mathcal{L}(\delta(t))=1</math> ===תגובת הלם=== *נביט במערכת של מסה המחוברת לקפיץ, המתחילה במנוחה.*נניח שברגע <math>t=a</math> מישהו נתן 'פליק' למסה.*הדרך שלנו לבטא כוח נקודתי שכזה היא הדלתא של דירק, המכונה גם 'פונקצית הלם'.*כלומר הכוח החיצוני על המערכת הוא <math>\delta(t-a)</math>, בנוסף לכוח המופעל על ידי הקפיץ.*למעשה אנו מעוניינים בפתרון למד"ר <math>y''+ky=\delta(t-a)</math>*באופן דומה להגדרת האינטגרל, ניתן לחשוב על הפתרון כגבול הפתרונות למערכות המקורבות <math>y''+ky=\delta_n(t-a)</math>. *נוכיח כעת את הנוסחא <math>e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))=\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))</math> עבור <math>a>0</math>:**<math>\mathcal{L}(u(t-a)y(t-a))=\int_0^\infty e^{-st}u(t-a)y(t-a)dt = \int_a^\infty e^{-st}y(t-a)dt=</math>**נבצע את ההצבה <math>x=t-a</math> ונקבל:**<math>=\int_0^\infty e^{-s(x+a)}y(x)dx =e^{-sa}\int_0^\infty e^{-sx}y(x)dx=e^{-sa}\mathcal{L}(y(t))</math>. *נפתור את המערכת עם התמרת לפלס:**<math>\mathcal{L}(y''+ky)=s^2F(s)-sy(0)-y'(0)+kF(s)=e^{-sa}</math>.**כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, <math>y(0)=y'(0)=0</math>.**לכן <math>F(s)=\frac{e^{-sa}}{s^2+k}</math>.**ולכן <math>y=u(t-a)\frac{sin(\sqrt{k}(t-a))}{\sqrt{k}}</math>.**(הרי <math>\mathcal{L}(sin(\sqrt{k}t))=\frac{\sqrt{k}}{s^2+k}</math>). *אכן, עד רגע <math>t=a</math> המערכת במנוחה <math>y=0</math>.*לאחר מכן, אנו מקבלים את הפתרון המקיים <math>y(a)=0,y'(a)=1</math>.*כלומר ה'הלם' תפקד במקרה זה כמו תנאי התחלה על המהירות - זה בדיוק ה'פליק' שהכנו במסה.
