שינויים

**נסמן <math>rH(y)(x)=a_nx^ny^{(n)}+...+a_0y</math> פתרון למשוואה האופיינית, אם"ם **נסמן <math>K(u)(t)=ec_nu^{rt(n)}(t)+...+c_0u(t)</math> פותר את המד"ר.**לכן פונקצייה המקיימת ראינו ש <math>H(y)(e^t)=K(y\circ e^{rt}t)</math> היא פתרון, כלומר **נציב <math>y(x)=x^r</math> פתרון למד"ר המקורית.ונקבל **נציב *<math>yH(x^r)(x) =a_n\cdot r(r-1)\cdots(r-n+1) x^r + ...+a_0 x^r</math> במד"ר ונקבל .***ולכן <math>K(e^{rt})=H(x^r)(e^t)=a_n\cdot r(r-1)\cdots(r-n+1) xe^r {rt} + ...+a_0 xe^r{rt}</math>**כלומר אם נשווה את הפולינום האופייני של <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math>.לאפס נקבל את**קיבלנו <math>a_n\cdot r(r-1)\cdots(r-n+1) + ...+a_1r+a_0=0</math> וזו (זו נקראת המשוואה '''האינדיציאלית''').  *סה"כ אם r שורש ממשי מריבוי k של המשוואה האינדנציאלית אזי:**<math>u(t)=t^ke^{rt}</math> פתרון של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math>.**ולכן <math>y(x)=u(ln(x))=ln^k(x)x^r</math> פתרון של משוואת אוילר המקורית.*אם <math>r=a\pm bi</math> זוג שורשים מרוכבים צמודים מריבוי k כל אחד אזי:**<math>u(t)=e^{at}cos(bt),e^{at}sin(bt)</math> פתרונות של המד"ר <math>c_nu^{(n)}(t)+...+c_0u(t)=0</math>.**לכן <math>y(x)=x^acos(bln(x)),x^asin(bln(x))</math> פתרונות של משוואת אוילר המקורית.