שינויים
/* מד"ר הומוגנית */
==הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי==
===מד"ר הומוגנית===
*מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>.
*נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה <math>z=\frac{y}{x}</math> באופן הבא:
**ראשית נסמן <math>y'=g(\frac{y}{x})</math>.
**כעת נגזור את שני צידי המשוואה <math>zx=y</math>, ונקבל כי <math>z'x+z=y'</math>.
**לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה '''פרידה''' <math>z'x+z=g(z)</math>.
**נפריד את המשתנים <math>\frac{1}{g(z)-z}dz=\frac{1}{x}dx</math>.
**ולכן <math>\int \frac{1}{g(z)-z}dz=\ln|x|+C</math>.
**נמצא את <math>z</math> ונציב בחזרה <math>y=zx</math>.
*פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל <math>\lambda\neq 0</math> מתקיים כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>.
*לדוגמא <math>f(x,y)=\frac{x^2+xy}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 1.
*טענה: פונקציה <math>f(x,y)</math> היא מהצורה <math>\varphig(\frac{y}{x})</math> לכל <math>x\neq 0</math> אם"ם היא הומוגנית מסדר <math>0</math> לכל <math>x\neq 0</math>.
*הוכחה:
**אם <math>f(x,y)=\varphig(\frac{y}{x})</math> אזי לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\varphig(\frac{\lambda y}{\lambda x})=\varphig(\frac{y}{x})=\lambda^0 f(x,y)</math>.**אם <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>, נציב <math>\lambda=\frac{1}{x}</math> ונקבל כי <math>f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=\varphig(\frac{y}{x})</math>.
*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>y'=\frac{x^2+y^2}{xy}</math>
**<math>\varphig(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}}</math>**<math>\int \frac{1}{\varphig(z)-z}dz=\int \frac{1}{\frac{1+z^2}{z}-z}dz=\int z dz=\frac{z^2}{2} </math>
**<math>\frac{z^2}{2}=ln|x|+C</math>
**<math>z=\pm\sqrt{ln(x^2)+C}</math>
*דוגמא - נפתור את המשוואה <math>xdy-\left(x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y\right)dx=0</math>
**<math>y'=\frac{x\cdot\cos^2(\frac{y}{x})+y}{x}</math>
**<math>\varphig(\frac{y}{x})=f(1,\frac{y}{x})=\cos^2(\frac{y}{x})+\frac{y}{x}</math>**<math>\int \frac{1}{\varphig(z)-z}dz=\int \frac{1}{\cos^2(z)}dz=\tan(z)</math>
**<math>\tan(z)=\ln|x|+c</math>
**<math>z=\arctan(ln|x|+C)</math>
**<math>y=x\cdot \arctan(ln|x|+C)</math>
===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
