שינויים
/* הוכחה */
===הוכחה===
*נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון יחיד לבעיית הקושי.
*הערה: נוכיח עבור <math>x\geq x_0</math> ההוכחות עבור <math>x<x_0</math> דומות.
*ראשית , נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן <math>|x-x_0|\leq a',|y-y_0|\leq b</math> שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של <math>f</math>.**הפונקציה הראשונה <math>\varphi_0=y_0</math> כמובן בתוך המלבן.**כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי <math>\varphi_{n+1}=y_0+\int_{x_0}^xf(t,\varphi_n(t))dt</math>.***שימו לב כי האינטגרל הוא בתחום <math>[x_0,x]</math> שנמצא בתחום התחום <math>[x_0,x_0+a']</math>.**לכן <math>|\varphi_{n+1}-y_0|\leq \int_{x_0}^x|f(t,\varphi_n(t)|dt\leq M(x-x_0)\leq Ma'\leq b</math>. *כעת, נשים לב לתכונה הבאה:
**כיוון ש<math>f_y</math> רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
**לפי משפט לגראנז' נקבל כי <math>|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq K|y_1-y_2|</math>
**<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t,y_1)-f(t,y_2))dt\right|\leq \int_{x_0}^x|f(t,y_1)-f(t,y_2)|dt\leq K\int_{x_0}^x|y_2-y_1|dt</math>.
**לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>.
==הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה==
