שינויים
/* מבחנים לדוגמא */
*[[מדיה:22ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]]
*[[מדיה:22ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]]
*[[מדיה:23ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]]
=הרצאות=
==הרצאה 10 התמרת לפלס==
*התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
*עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st}fy(t)dt</math>.
*שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
*אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>.
**הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>.
*נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.
*כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>.
*וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.
===דוגמאות===
*דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> את <math>y=e^{ax}</math>
*<math>\mathcal{L}(ae^{ax})=s\mathcal{L}(e^{ax})-1</math>
*סה"כ נקבל כי <math>\mathcal{L}(e^{ax})=\frac{1}{s-a}</math>
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math>
**לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math>
*דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס
*נסמן <math>F(s)=\mathcal{L}(\sin(ax))</math>, <math>G(s)=\mathcal{L}(\cos(ax))</math>
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>:
**נציב <math>y=\sin(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(a\cos(ax))=s\mathcal{L}(\sin(ax))-0</math> כלומר <math>aG(s)=sF(s)</math>
**נציב <math>y=\cos(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(-a\sin(ax))=s\mathcal{L}(\cos(ax))-1</math> כלומר <math>-aF(s)=sG(s)-1</math>
*נקבל סה"כ כי
**<math>\mathcal{L}(sin(ax))=F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}</math>
**<math>\mathcal{L}(cos(ax))=G(s)=\frac{s}{s^2+a^2}</math>
==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס==
