שינויים
/* מבחנים לדוגמא */
=מבחנים לדוגמא=
*[[מדיה:18EngODEExmpTest1.pdf|מבחן לדוגמא 1]]**, [[מדיה:18EngODEExmpTest1Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 1]]*[[מדיה:18EngODEExmpTest2.pdf|מבחן לדוגמא 2]]**, [[מדיה:18EngODEExmpTest2Sol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא 2]]*[[מדיה:18EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ח]]**, [[מדיה:18EngODETestASol.pdf|פתרון ]]*[[מדיה:18EngODETestB.pdf|מבחן מועד אב' הנדסה תשע"ח]]*, [[מדיה:18EngODETestB18EngODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' הנדסה תשע"ח]]*[[מדיה:19ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ט]]**, [[מדיה:19ODETestASol.pdf|פתרון ]]*[[מדיה:19ODETestB.pdf|מבחן מועד אב' תשע"ט]]*, [[מדיה:19ODETestB19ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשע"ט]]*[[מדיה:21ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"א]]*[[מדיה:21ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:21ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"א]]*[[מדיה:22ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ב]]*[[מדיה:22ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ב]], [[מדיה:22ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ב]]*[[מדיה:23ODEQuiz.pdf|בוחן תשפ"ג]], [[מדיה:23ODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן תשפ"ג]]*[[מדיה:23ODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תשפ"ג]]*[[מדיה:23ODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23ODETestBSol.pdf|פתרון מבחן מועד ב' תשפ"ג]]*[[מדיה:23EngODEQuiz.pdf|בוחן הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODEQuizSol.pdf|פתרון בוחן הנדסה תשפ"ג]]*[[מדיה:23EngODETestA.pdf|מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestASol.pdf|פתרון]]*[[מדיה:23EngODETestB.pdf|מבחן מועד ב' הנדסה תשפ"ג]], [[מדיה:23EngODETestBSol.pdf|פתרון]] ===מבחנים של מד"ר למדעי המוח===*[[מדיה:23BSODETestA.pdf|מבחן מועד א' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestAPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד א' תשפ"ג]]*[[מדיה:23BSODETestB.pdf|מבחן מועד ב' תשפ"ג]], [[מדיה:23BSODETestBPartialSol.pdf|פתרון חלקי מבחן מועד ב' תשפ"ג]]
=הרצאות=
===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
*הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה <math>y'+pa(x)\cdot y=qb(x)</math>.*מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה <math>y'+pa(x)\cdot y=0</math>.
*נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
*נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית <math>y'+pa(x)\cdot y=0</math> היא '''פרידה'''.*נפריד את המשתנים ונקבל <math>\frac{1}{y}dy=-pa(x)dx</math>.*נבצע אינטגרציה ונקבל כי <math>ln|y|=-\int pA(x)dx +C</math>.*ולכן <math>y=C\cdot e^{-\int pA(x)dx}</math>
*כלומר, נציב <math>y=C(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx}</math> במשוואה <math>y'+pa(x)y=qb(x)</math>.*נקבל <math>C'(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx}-pa(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx} + pa(x)\cdot C(x) \cdot e^{-\int pA(x)dx}=qb(x)</math>*משוואה זו מתקיימת אם"ם <math>C'(x)\cdot e^{-\int pA(x)dx}=qb(x)</math>.*כלומר <math>C'(x)=qb(x)\cdot e^{\int pA(x)dx}</math>.*לכן נבחר <math>C(x)=\int \left[qb(x)\cdot e^{\int pA(x)dx}\right]dx+C</math>
*סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית <math>y'+pa(x)\cdot y=qb(x)</math> הוא: <math>e^{-\int pA(x)dx}\cdot\left(C+\int\left(qb(x)\cdot e^{\int pA(x)dx}\right)dx\right)</math>
*דוגמא - המשוואה החביבה עלינו <math>y'=ry</math>:
**ראשית, נשים לב כי <math>pa(x)=-r</math> ו<math>qb(x)=0</math>.
**כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא <math>y=C\cdot e^{-\int (-r)dx}=C\cdot e^{rx}</math>
====שתי מסות על קפיץ - מערכת מד"ר מסדר שני====
*נביט בשתי מסות המחוברות לשני צידי קפיץ.
*נניח כי <math>y_1,y_2<y_1</math> מודדות את מיקום המסות ביחס לנקודת האפס שלהן, וצד ימין הוא הכיוון החיובי בשתיהן.
*נניח כי כאשר כל אחת מהמסות במקום אפס, אזי הקפיץ במנוחה.
*נניח כי המסות זהות בגודלן, ושוות אחד.
*לכן מתקבלת מערכת המד"ר <math>\begin{cases}y_1''=-k(y_1-y_2) \\ y_2''=-k(y_2-y_1-y_2)\end{cases}</math>*שימו לב שכאשר הקפיץ מתוח הוא מושך את שתי המסות למרכז, כלומר את המסה הראשונה (הימנית) הוא מושך שמאלה (בכיוון השלילי), ואת המסה השנייה (השמאלית) הוא מושך ימינה (בכיוון החיובי)
*נסמן <math>A=\begin{pmatrix}-k & k \\ k & -k\end{pmatrix}</math>, ולכן <math>\vec{y}''=A\vec{y}</math>.
==הרצאה 10 התמרת לפלס==
*התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.
*עבור הפונקציה <math>y(t)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-st}fy(t)dt</math>.
*שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s.
*אם מתקיים כי <math>|y(t)|\leq Me^{at}</math> אזי ההתמרה מתכנסת לכל <math>s>a</math>.
**הביטוי האחרון מתכנס לכל <math>s>a</math>.
*נניח כי כל הפונקציות שאנו עוסקים בהן חסומות על ידי אקספוננט באופן דומה.
*כעת <math>\mathcal{L}(y'')=s\mathcal{L}(y')-y'(0) = s^2F(s)-sy(0)-y'(0)</math>.
*וכן הלאה, עבור נגזרות מסדר גבוה.
===דוגמאות===
*דוגמא - נמצא את ההתמרה של האקספוננט
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math> את <math>y=e^{ax}</math>
*<math>\mathcal{L}(ae^{ax})=s\mathcal{L}(e^{ax})-1</math>
*סה"כ נקבל כי <math>\mathcal{L}(e^{ax})=\frac{1}{s-a}</math>
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-r}</math>
**לכן <math>y=y(0)e^{rt}</math>
*דוגמא - נמצא את ההתמרה של סינוס וקוסינוס
*נסמן <math>F(s)=\mathcal{L}(\sin(ax))</math>, <math>G(s)=\mathcal{L}(\cos(ax))</math>
*נציב בנוסחא <math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-y(0)</math>:
**נציב <math>y=\sin(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(a\cos(ax))=s\mathcal{L}(\sin(ax))-0</math> כלומר <math>aG(s)=sF(s)</math>
**נציב <math>y=\cos(ax)</math> ונקבל <math>\mathcal{L}(-a\sin(ax))=s\mathcal{L}(\cos(ax))-1</math> כלומר <math>-aF(s)=sG(s)-1</math>
*נקבל סה"כ כי
**<math>\mathcal{L}(sin(ax))=F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}</math>
**<math>\mathcal{L}(cos(ax))=G(s)=\frac{s}{s^2+a^2}</math>
==הרצאה 11 - המשך התמרת לפלס==
