שינויים
/* הוכחה */
\sum_{i=1}^n\left|\varphi_i-\varphi_{i-1}\right|\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{|x-x_0|^n}{n!}\leq
\sum_{i=1}^nK^{n-1}M\frac{(a')^n}{n!}
</math>
**זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, ולפי מבחן הM של קושי, הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
**הערה: כיוון ש<math>\left|f(x,\varphi_n(x))-f(x,\varphi_{n-1}(x))\right|\leq K|\varphi_n(x)-\varphi_{n-1}(x)|</math> אזי גם הסדרה <math>f(x,\varphi_n(x))</math> מתכנסת במ"ש באופן דומה.
**נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף <math>\varphi_n=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))dt</math>.
**נקבל כי <math>y(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(t,y(t))dt</math>.
**הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.
*טענת עזר - תהי <math>g</math> כך שלכל <math>|x-x_0|<a'</math> בקטע מתקיים כי <math>|g|\leq K\int_{x_0}^x|g(t)|dt</math> אזי <math>g=0</math> בקטע.
*יהיו שני פתרונות <math>y_1,y_2</math> לבעיית הקושי, נוכיח כי <math>y_1=y_2</math>:
**<math>|y_2-y_1|=\left|\int_{x_0}^x(f(t,y_1)-f(t,y_2))dt\right|\leq \int_{x_0}^x|f(t,y_1)-f(t,y_2)|dt\leq K\int_{x_0}^x|y_2-y_1|dt</math>.
**לכן לפי טענת העזר, <math>y_1=y_2</math>.
