שינויים
/* שימוש בטורי טיילור */
*<math>\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n-1} -\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n} - \sum_{n=1}^\infty 2na_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^\infty 2a_nx^n=0</math>
*<math>\sum_{k=1}^\infty (k+1)ka_{k+1}x^{k} -\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k} - \sum_{k=0}^\infty 2(k+1)a_{k+1}x^{k}+\sum_{k=0}^\infty 2a_kx^k=0</math>
*<math>-2a_1+2a_0+\sum_{k=0}^\infty \left((k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k\right)x^k</math>
*לכן:
**a_0=a_1
**לכל <math>k\geq 1</math> מתקיים <math>(k^2-k-2)a_{k+1}-(k-2)a_k=0</math>.
**עבור <math>k=2</math> מקבלים <math>0=0</math>.
**עבור <math>k\neq 2</math> נחלק ב<math>k-2</math> ונקבל <math>(k+1)a_{k+1}=a_k</math>.
*סה"כ המשוואות שקיבלנו הן
**<math>a_1=a_0</math>
**<math>a_2=\frac{1}{2}a_1</math>
**<math>a_4=\frac{1}{4}a_3</math>
**וכן הלאה.
*נשים לב כי באופן כללי <math>a_0,a_3</math> חופשיים.
*עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=0</math> נקבל את הפתרון <math>y=\frac{1}{2}x^2+x+1</math>.
*עבור הבחירה <math>a_0=1,a_3=\frac{1}{3!}</math> נקבל את הפתרון <math>y=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=e^x</math>.
*נבדוק שהפתרונות בת"ל:
**<math>W(x)=\left|\begin{pmatrix}e^x & \frac{1}{2}x^2+x+1\\ e^x & x+1\end{pmatrix}\right|=-\frac{e^xx^2}{2}</math>
**לכל <math>x\neq 0</math> הוורונסיקאן שונה מאפס ולכן הפתרונות בת"ל.
**שימו לב שהוורונסיקאן התאפס בנקודה אחת, אבל זה בסדר כי המד"ר היא לינארית עבור <math>x\neq 0</math>.
**אכן ב<math>x=0</math> משפט היחידות לא עובד, שני הפתרונות מקיימים <math>y(0)=1, y'(0)=1</math>.
*סה"כ הפתרון הכללי הינו <math>y=c_1e^x+c_2\left(\frac{1}{2}x^2+x+1\right)</math>
