שינויים
/* הרצאה 10 התמרת לפלס */
==הרצאה 10 התמרת לפלס==
*דוגמא - נפתור את המד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>\mathcal{L}(xy''-(x+2)y'+2y)=\mathcal{L}(xy'')-\mathcal{L}(xy')-2\mathcal{L}(y')+2\mathcal{L}(y)=</math>
**<math>=-2sF(s)-s^2F'(s)+y(0)+F(s)+sF'(s)-2sF(s)+2y(0)+2F(s)</math>
**לכן קבלנו את המשוואה <math>(s-s^2)F'(s)+(3-4s)F(s)=-3y(0)</math>
*קיבלנו מד"ר לינארית.
*לצורך הנוחות, נחליף זמנית את הסימון ונפתור את <math>y'+\frac{3-4x}{x-x^2}y=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math>
**נסמן <math>P(x)=\frac{3-4x}{x-x^2}=\frac{3}{x}+\frac{1}{x-1}</math>, ו<math>Q(x)=\frac{-3y_0}{x-x^2}</math>
**לכן <math>e^{-\int P(x)}=\frac{1}{x^3(x-1)}</math>.
**כמו כן <math>\int Q(x)e^{\int P(x)} = \int \frac{-3y_0}{x-x^2}x^3(x-1) = \int 3y_0x^2=y_0x^3</math>
**סה"כ הפתרון למד"ר הלינארית הוא <math>y=\frac{1}{x^3(x-1)}\left(y_0x^3+C\right)=\frac{y_0}{x-1}+\frac{C}{x^3(x-1)}</math>
*נחזור לסימון התמרת הלפלס:
**<math>F(s)=\frac{y(0)}{s-1}+\frac{C}{s^3(s-1)}=\frac{y(0)+C}{s-1} - C\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s^3}\right)</math>
*נבצע התמרה הפוכה על מנת לקבל את הפתרון למשוואה המקורית:
**<math>y=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=(y(0)+C)e^x + C(1+x+\frac{1}{2}x^2)</math>
