שינויים
/* הרצאה 10 התמרת לפלס */
==הרצאה 10 התמרת לפלס==
*התמרת לפלס היא העתקה לינארית בין מרחבי פונקציות.*עבור הפונקציה <math>y(x)</math> המוגדרת בקטע <math>[0,\infty)</math> נגדיר את התמרת הלפלס <math>F(s)=\mathcal{L}(y)=\int_0^\infty e^{-sx}f(x)dx</math>.*שימו לב שנהוג לסמן את הפונקציה לפני ההתמרה עם המשתנים x או t, ולאחר ההתמרה נהוג להתמש במשתנה s. *דוגמא - נחשב את ההתמרה של הפונקציה <math>e^{ax}</math>.**<math>F(s)=\mathcal{L}(e^{ax})=\int_0^\infty e^{-sx}e^{ax}dx = \int_0^\infty e^{(a-s)x}dx = \left[\frac{e^{(a-s)x}}{a-s}\right]_0^\infty</math>**לכל <math>s\geq a</math> האינטגרל הלא אמיתי מתכנס ונקבל כי <math>F(s)=\frac{1}{s-a}</math>**במילים פשוטות התמרת לפלס של הפונקציה <math>e^{ax}</math> הינה הפונקציה <math>\frac{1}{s-a}</math>. *בויקיפדיה ניתן למצוא [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1#%D7%98%D7%91%D7%9C%D7%AA_%D7%94%D7%AA%D7%9E%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%9C%D7%A4%D7%9C%D7%A1 טבלה של התמרות לפלס שימושיות].*שימו לב לשימוש בפונקצית המדרגה <math>u(t)=\begin{cases}1 & t\geq 0\\ 0 & t<0\end{cases}</math> שמאפסת את כל החלק השלילי של ציר הx.**הפונקציה <math>u(t-a)</math> מאפסת את ציר הx בקטע <math>(-\infty,a)</math>. ===תכונות התמרת לפלס===*לינאריות:**<math>\mathcal{L}(y_1+ay_2) = \mathcal{L}(y_1)+a\mathcal{L}(y_2)</math>*התמרת הנגזרת:**<math>\mathcal{L}(y')=s\mathcal{L}(y)-f(0)</math> ===דוגמא===נפתור את המד"ר <math>xy''-(x+2)y'+2y=0</math>.
*נבצע התמרת לפלס:
**<math>\mathcal{L}(xy''-(x+2)y'+2y)=\mathcal{L}(xy'')-\mathcal{L}(xy')-2\mathcal{L}(y')+2\mathcal{L}(y)=</math>
