שינויים

פתרון המד״ר משיעור קודם: = מד״ר מסדר שני =הצורה הכללית של מד״ר כזו היא <math>\frac{\ln\leftF(\frac x,y{x+2}+\sqrt3-1\right)-\ln\left(-\frac ,y{x+2}+\sqrt3+1\right',y'')}\sqrt3-\frac12\ln\left|2+\frac{2y}{x+=0</math>, והפתרון הוא מהצורה <math>y}-=\leftvarphi(\frac y{x+2}\right,c_1,c_2)^2\right|=\ln|x+2|+c</math>.

== מד״ר מסדר גבוה סוגים נפוצים ==מד״ר מסדר שני: === סוג 1 ===מתקיים <math>F(x,y,y',y''^{(n)}=0f(x)</math>. הפתרון הוא מהצורה ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה <math>y=\varphin</math> פעמים (xבמקרה שלנו,c_1,c_2)<math>n=2</math>).

=== בעיית קושי מסדר סוג 2 ===נתונים שני תנאי התחלה <math>y(x_0)=y_0אלה מד״ר שבהן ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2,y'(x_0)=y_0'</math> (כמובן ש־<math>y_0'</math> אינו הנגזרת של הקבוע <math>y_0</math>, אלא ערך הנגזרת בנקודה <math>x_0</math>).נחלק לשני מקרים:

==== סוג מקרה 1 ====מתקיים <math>y^{(n)}=f(x)</math>. ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה <math>ny''=f(x,y')</math> פעמים (. במקרה שלנו, זה נציב <math>nz=2y'</math>)ונקבל מד״ר מסדר ראשון.

==== סוג 2 = תרגיל =====אלה המקרים שבהם ניתן להוריד פתרו את סדר המשוואההמד״ר <math>y''=x y'</math>. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:

''מקרה 1:'' <math>y</math> לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה <math>y''=f(x,y===== פתרון ======{|{{=|o=\implies |r=z')</math>. במקרה זה =xz | c=נציב <math>z=y'</math> ונקבל מד״ר מסדר ראשון. נדגיםולכן: <math>y''}}{{=x y'</math>. לכן <math>z'|o=xz</math>, לפיכך <math>\intimplies |r=\frac{z'}z=x }}{{=|o=\implies |r=\int\frac{\mathrm dz}z=\int x\mathrm dx</math> ואז <math>}}{{=|o=\lnimplies |r=\ln\vert z|\vert=\frac{x^2}2+c_0 }}{{=|o=\implies |r=z=y'=c_1\mathrm e^{\frac{x^2}2} |c=נסמן </math>. מכאן ש־c_1:=\mathrm e^{c_0}</math>:}}{{=|o=\implies |r=y=c_1\int\mathrm e^{\frac{x^2}2}\mathrm dx</math>.}}|}{{משל}}

''==== מקרה 2:'' ====<math>x</math> לא מופיעבמשוואה, כלומר המד״ר מהצורה <math>y''=f(y,y')</math>. שוב נגדיר <math>z=y'</math>, ואז <math>y''=z'=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z_y' z</math>. המד״ר הופכת ל־<math>zz_y'=f(y,z)</math>, כלומר מד״ר מסדר ראשון של <math>y,z</math>. נובע ש־<math>x=\int\frac{\mathrm dy}z</math>. דוגמה: בהנתן <math>yy''-2(y')^2=0</math> נציב באופן הנ״ל ונקבל <math>y\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}=2z</math>, כך שלבסוף <math>\int\frac{\mathrm dz}{2z}=\int\frac{\mathrm dy}y\implies z=c_1\mathrm e^{y^2}</math>. נותר להציב ולקבל <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=c_1y^2\implies\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=\int c_1\mathrm dx\implies y=\frac{c_2}{c_1x+1}</math>.

=== משוואת == תרגיל =====פתרו <math>yy''-2(y')^2=0</math>. ====== פתרון ======נציב <math>z</math> באופן הנ״ל ונקבל{{left|<math>\begin{align}&y\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}z=2z^2\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{2z}=\int\frac{\mathrm dy}y\\\implies&\frac12\ln|z|=\ln|y|+C_1\\\implies&z=C_2y^2\\\implies&\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=C_2y^2\\\implies&\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=\int C_2\mathrm dx\\\implies&-\frac1y=C_2x+C_3\\\implies&y=\frac{c_2}{c_1x+1}\end{align}</math>}}{{משל}} === משוואות ריקטי ===אלה מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה <math>y=\frac{c a(x)+b(x)}{c A(x)+B(x)}</math>, ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.

ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים <math>y\cdot(cA+B)=ca+b</math> ולכן <math>c(yA-a)-b+yB=0</math>. נגזור את שני האגפים ונקבל <math>c(y'A+A'y-a')-b'+(y'B+B'y)=0</math>. נציג את שתי המשוואות האחרונות נכונות לכל בצורה <math>{\color{Blue}\begin{pmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}c\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math> ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: <math>\begin{vmatrix}y'A+A'y-a'&-b'+y'B+B'y\\yA-a&-b+yB\end{vmatrix}=0</math>. נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־<math>y'+y^2\frac{AB'-B'a}{Ab-aB}+y\frac{a'B-A'B-Ab'-aB'}{bA-aB}+\frac{ab'-a'b}{bA-aB}=0</math>, כדרוש.

== מערכת מד״ר מסדר ראשון ==מהצורה לצד השני, יהי <math>\vec Fy_z(x,\vec )</math> פתרון רגולרי של משוואת ריקטי. נציב במד״ר <math>y,\vec y'(x)=0y_z(x)+z(x)</math> (כאשר <math>\vec Fz</math> היא מערכת של פונקציה לא ידועה) ונגלה ש־{|{{=|o= |r=z'+y_z'+f(x)\left(z^2+2zy_z+y_z^2\right)+g(x)(y_z+z)+h(x)=0 }}{{=|o=\implies |r=\Big(z'+z^2+(2f(x)y_z+g(x))z\Big)+\Big(y_z'+f(x)y_z^2+g(x)y_z+h(x)\Big)=0 }}{{=|o=\implies |r=z'+z^2+(2f(x)y_z+g(x))z=0 |c=<math>ny_z</math> פונקציות ב־פתרון, לכן: }}|}לכן <math>2n+1z</math> משתנים. בצורה נורמלית: פתרון של משוואת ברנולי עם <math>\vec y'^2</math>, ולפיכך הוא מהצורה <math>z=\vec ffrac1{c\alpha(x,)+\vec ybeta(x)}</math>. לפיכך לבסוף הפתרון מהצורה <math>y=y_z+z=\beginfrac{pmatrix}y_1cy_z(x)\\y_2\end{pmatrixalpha(x)+y_z(x)z(x)+1}=\begin{pmatrix}c\varphialpha(x,c_1,c_2)+\\\psibeta(x,c_1,c_2)\end{pmatrix}</math>.{{משל}}

=מערכת מד״ר מסדר ראשון =זו מערכת מהצורה <math>\vec F(x,\vec y,\vec y\,')= דוגמה 0</math> כאשר <math>\vec F</math> היא מערכת של <math>n</math> פונקציות. המערכת היא ב־<math>2n+1</math> משתנים. בצורה נורמלית: <math>\vec y\,'=\vec f(x,\vec y)</math>. לפיכך הפתרון הכללי הינו מהצורה <math>\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}\varphi_1(x,c_1,c_2)\\\varphi_2(x,c_1,c_2)\end{pmatrix}</math>. לדוגמה, <math>\begin{cases}y_1'+\sin(x)+y_1y_2x^2=0</math>. גזירת שני האגפים תתן <math>\\\frac{y_1'}{y_2}+\frac{y_2'}{y_1}+\cos(x)=0\end{cases}</math>היא מערכת מד״ר.

=== בעיית קושי ===נתון במערכת מד״ר מסדר 1, בעיית קושי היא לפתור את המד״ר עם תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>.

=== משפט ===מד״ר מסדר <math>n</math> (נורמלית/לינארית/לינארית הומוגניתלינארית־הומוגנית) שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות והומוגניותלינאריות־והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים תנאי התחלה ערכי ההתחלה <math>y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0)</math> זה שקול אז המד״ר שקולה לבעיית קושי עבור המערכת.

==== הוכחה ====נתונה המד״ר <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0</math> ונסמן <math>\forall k=1,\dots, n-1:\ y_k=y^{(k)}</math>. לכן <math>F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{kn-1},y_{kn-1}')=0</math>. נוסיף את המד״ר הבאות: <math>\forall k=1,\dots,n-1:\ y_k=y_{k-1}'</math>. המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית הומוגנית לינארית־הומוגנית בהתאם למערכת המקורית. {{משל}}

==== דוגמה ====<math>y^{(3)}+x^2y''+\sin(x)y=0</math>. נציב <math>z=y'</math> ו־<math>w=z'=y''</math>. לפיכך ולפיכך <math>\begin{cases}w'+x^2w+\sin(x)y=0\\z=y'\\w=z'\end{cases}</math>.

''=== סוגים נפוצים ======= מקרה 1:'' ====משוואה מסדר 1 ממעלה וממעלה <math>n</math>: <math>(y')^n+P_1(x,y)(y')^\sum_{n-1k=0}+\dots+\P_^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+P_n(x,y')^n=0</math>. מכאן שקיימות פונקציות <math>f_k,\quad k\in\{1,2,\dots,n\}</math> שעבורן <math>(y'-f_1(x,y))\cdotprod_{k=1}^n\dots\cdotBig(y'-f_nf_k(x,y)\Big)=0</math>. דוגמה:  ===== תרגיל =====פתרו <math>(y')^2-\frac{xy}{a^2}=0</math> לכן . ====== פתרון ======{{left|<math>\begin{align}&\left(y'-\frac\sqrt{xy}a\right)\left(y'+\frac\sqrt{xy}a\right)=0</math> ואז <math>\\\implies&y'=\pm\frac\sqrt{xy}a\\\implies&\frac{y'}\sqrt y=\pm\frac\sqrtxa\\\implies&\int\frac{xy\mathrm dy}a</math>. נפעיל אינטגרציה: <math>\sqrt y=\pm\int\frac\sqrt xa\mathrm dx\\\implies&2\sqrt y=\pm\frac{2x^{3/2}}{3a}+c\\\implies&y=\frac14\left(c\pm\frac{2\sqrt x^3}{3a}\right)^2\end{align}</math>}}{{משל}} ==== מקרה 2 ====<math>x</math> לא מופיעה במד״. צורתה <math>F(y, כלומר y')=0</math>, ובהצבת <math>z=y'=\frac14frac{\leftmathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(cy,z)=0</math>. נשים לב ש־<math>\pmfrac{\mathrm dz}z=\mathrm dx</math> ולכן <math>x=\int\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\sqrt mathrm dz</math>. לפיכך, אם <math>y=\varphi(z)</math> אזי <math>x=\frac{\varphi(z)}z+\int\frac{\varphi(z)}{z^2}\mathrm dz</math>. ===== תרגיל =====פתרו <math>y=(y')^2+2(y')^3</math>. ====== פתרון ======נסמן <math>z=y'</math> ונציב במד״ר: <math>y=z^2+2z^3</math>. עתה <math>x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz=\frac{3az^2+2z^3}z+\rightint(1+2z)\mathrm dz=c+z+2z^2+z+z^2=c+2z+3z^2=c+2y'+3(y')^2</math>, וזו מד״ר ממקרה 1, שאותו אנו כבר יודעים לפתור. {{משל}} ==== מקרה 3 ====<math>y</math> לא מופיעה, <math>F(x,y')=0</math>. שוב נציב <math>z=y'</math>, ונניח <math>x=\varphi(y')=\varphi(z)</math>. אזי <math>y=\int z\mathrm dx=zx-\int x\mathrm dz=z\cdot\varphi(z)-\int\varphi(z)\mathrm dz</math>. ===== תרגיל =====פתרו <math>x=y'\sin(y')</math>. ====== פתרון ======אחרי הצבה <math>z=y'</math> נקבל <math>x=z\sin(z)</math> ולבסוף <math>y=z\cdot z\sin(z)-\int z\sin(z)\mathrm dz=c+x+z^2\sin(z)+z\cos(z)-\sin(z)</math>. נציב חזרה <math>z=y'</math> וסיימנו. {{משל}} ==== מקרה 4 ====<math>y</math> מופיעה ו־<math>x</math> לא, כלומר <math>F(y,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. כרגיל, נגדיר <math>z=y'</math>. אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>\mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}(t)\mathrm dt=\varphi_t'(t)\mathrm dt</math>, ומכאן ש־<math>\mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. לבסוף, <math>\begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases}</math>.

''מקרה 2:'' <math>x</math> לא מופיע במד״ר. צורתה <math>F(y,y')=0</math> ובהצבת <math>p=y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math> נקבל <math>F(y,p)=0</math>. נשים לב ש־<math>\frac{\mathrm dp}p=\mathrm dx</math> ולכן <math>xתרגיל ===\int\mathrm dx-c_1=c+\int\frac{\mathrm dy}p=c+\int\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math>. לבסוף, אם פתרו <math>y=a\varphi(p)</math> אזי <math>x=c+\fracsqrt{\varphi(p)}p1+\int\frac{\varphi(p)}{p^2}\mathrm dp</math>. דוגמה: <math>y=(y')^2+2(y')^3</math>. נסמן <math>p=y'</math> ולפי המד״ר, <math>y=p^2+2p^3</math>. עתה <math>x=c+\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp=c+\frac{p^2+2p^3}p+\int(1+2p)\mathrm dp=c+p+2p^2+p+p^2=c+2p+3p^2</math>.

''מקרה 3:'' ====== פתרון ======נסמן <math>y</math> לא מופיע, <math>F\psi(x,y't)=\sinh(t)=0z</math>. , נציב במד״ר ונקבל <math>y'=p</math> ואז, אם <math>x=a\varphicosh(y't)</math>, מתברר ש־<math>x=\varphi(pt)</math>. אזי כמו כן, <math>yx=\int p\mathrm dx+c=c+px-frac{a\int x\mathrm dp</math>. לסיכום, <math>y=c+p\cdot\varphisinh(pt)-}{\int\varphisinh(pt)}\mathrm dpdt=at+c</math>. דוגמה: עתה, <math>xt=y'\sin(y')</math>. אחרי הצבה <math>frac{c-x=p\sin(p)}a</math> ולבסוף ולכן <math>y=c+pa\cdot pcosh\sinleft(p)\frac{c-\int p\sin(p)\mathrm dp=x+p^2}a\sin(p)+p\cos(p)-\sin(pright)</math>.{{משל}}

''מקרה 4:'' <math>x</math> או <math>y</math> מופיעים, אבל המד״ר סתומה לגביהם. דהיינו, <math>F(x,y')=0</math> או <math>F(y,y')=0</math>. נגדיר <math>y'=p</math>.:''= מקרה 4.1:'' <math>F(y,p)5 =0</math>. נציב <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math>. מתקיים <math>\mathrm dy=\psi(t)\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt</math>. נקבל <math>\mathrm dx=\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>, כלומר <math>\begin{cases}x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt\\y=\varphi(t)\end{cases}</math>. דוגמה: מופיעה ו־<math>y=a\sqrt{1+(y')^2}</math>. נסמן <math>\psi(t)=\sinh(t)=p</math>לא, נציב במד״ר ונקבל <math>y=a\cosh(t)=\varphi(t)</math>. לבסוף, <math>x=\int\frac{a\sinh(t)}{\sinh(t)}\mathrm dt=at+c</math>.:''מקרה 4.2:'' כלומר <math>F(x,y')=0</math>, והמד״ר סתומה. נציב <math>pz=y',x=\varphi(t)</math>. אזי ולכן <math>F(\varphi(t),pz)=0</math> ונסמן . נסמן <math>pz=\psi(t)</math>. עתה ונגלה כי <math>\mathrm dx=\varphi_t'(t)\mathrm dt=\frac{\mathrm dy}{\psi(t)}</math>. מאינטגרציה ולפי הגדרת <math>\varphi</math> נקבל <math>\begin{cases}y=c+\int\psi(t)\varphi_t'(t)\mathrm dt</math> כאשר <math>\\x=\varphi(t)\end{cases}</math>.