שינויים

הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\Bigleft(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Bigright)=0</math> (<math>F</math> פונקציה ב־<math>n+2</math> משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא <math>F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0</math>.

'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה הגבוהה ביותר של הנגזרת הגבוהה ביותר. דוגמאותנדגים:

* {{left|<math>\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}</math>}}

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציה פוקנציית השגיאה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.

'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f\left(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right)</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.

תהי ''הערה:'' <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)equiv</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0מסמן שיוויון זהותי,\dots,z_n</math>כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אזי המד״ר המתאימה תקרא לינארית. לדוגמה: אם <math>\sinf(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{equiv g(x^2}=0)</math>. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: אז בפרט <math>y^{f(nx)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+fg(x)</math>. אם , ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־<math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0equiv</math>שיוויון זהותי.

'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה תהי <math>\varphiF(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> כך שבהצבת פונקציה לינארית במשתנים <math>y=z_0,\varphi(x)dots,z_n</math> . אזי המד״ר הופכת לזהות המתאימה <math>F(x,\varphileft(x),\varphiy,y'(x),\dots,\varphiy^{(n)}(x\right))\equiv0=0</math>תקרא לינארית. דוגמה: <math>y=\varphisin(x)=y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math> היא פתרון של , למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>xy'-2yy^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math> מפני שבהצבה . אם <math>y=\varphif(x)\equiv0</math> נקבל המד״ר נקראת "לינארית־הומוגנית". דוגמה: <math>x(2xy')-2x^2+x^2+2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.

'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות פונקציה <math>y=\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> התלויות ב־כך שבהצבת <math>ny=\varphi(x)</math> פרמטרים וגזירות המד״ר הופכת לזהות <math>F\left(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x)\right)\equiv0</math> פעמים לפי x. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=varphi(x+1\\\implies&y')=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\frac{varphi(x^3}6+\frac{)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2}2+c_1x+c_2\end{align}=0</math>}}, מה שמתקיים תמיד.

'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־<math>n</math> פרמטרים וגזיר <math>n</math> פעמים לפי <math>x</math>. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}{{משל}} = מד״ר מסדר ראשון ==

* # <math>xy'=x+y</math>* # <math>\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}</math># <math>xy'=x+y, y'=\frac yx,y'+x^2y=0</math>. לגבי המשוואה האחרונה: }}מד״ר 2 שקולה ל־<math>y'\mathrm dx+x^2ydy=\frac yx\mathrm dx=0</math> ולכן ומד״ר 3 שקולה ל־<math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. זו הצורה הדיפרנציאליתאלה הצורות הדיפרנציאליות. לגבי המשוואה השנייה: <math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math>.}}

=== בעיית קושי ===בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.

'''== פתרון רגולרי וסינגולרי=='''הגדרות:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא ''פתרון פרטי'', ''רגולרי '' או ''רגיל''. פתרון שאינו מתקבל מ־c מ־<math>c</math> מסוים נקרא ''פתרון סינגולרי או מיוחד. ''או 'דוגמה:'מיוחד'' . דוגמה: נתונה המד״ר <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הרגולרי הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל <math>c. לדוגמה </math>, כגון <math>y=(x+3)^2</math> הוא פתרון רגולרי, ו־. <math>y=0</math> פתרון סינגולרי.

=== משפט =הקיום והיחידות ==נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט הקיום והיחידות. (את הגרסה המדוייקת המדויקת ואת ההוכחה נציג בשיעור הבאבהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשנתנה במשתנה <math>y</math> בסביבה מסויימת מסוימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה <math>D</math> שבה המד״ר למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).

'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_0x_2|</math>.

=== מד״ר עם משתנים מופרדים ==='''=== דוגמה:''' ===נתון <math>2xy+y'=0</math>. אם אזי{|{{=|o= |r=\frac{y'}y=-2x |c=נניח <math>y\ne0not\equiv0</math> אז <math>:{{הפניה|ה-1|1}}}}{{=|o=\implies |r=\frac{y'\mathrm dx}y=-2x</math>. מכאן ש־<math>\mathrm dx }}{{=|o=\implies |r=\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx</math> ולפיכך <math>}}{{=|o=\lnimplies |r=\ln\vert y|\vert=-x^2+c_1</math}}{{=|o=\implies |r=\vert y\vert=c_2{\mathrm e}^{-x^2},\quad c_2>. נסמן 0 |c=נציב <math>c_2:={\mathrm e}^{c_1}</math> ונקבל <math>:}}{{=|yo=\implies |r=c_2y=c{\mathrm e}^{-x^2}, c_2>0</math> ולפיכך (עבור \quad c\ne0 |c=נציב <math>c:=c_2\sgn(y)</math>) :{{הפניה|ה-2|2}}}}|}{{עוגן2|ה-1|''הערה 1:''}} הנחנו ש־<math>y\not\equiv0</math> וחילקנו ב־<math>y</math>, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן <math>y=c{0</math>? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־<math>y</math> גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם <math>y\mathrm e}^{ne0</math>. אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בקצוות הקטעים. <!-x^2}-לעומת זאת, cבמידה ויש קטעים שלמים שבהם הפתרון נותן <math>y\ne0equiv0</math>אז הוא עלול להיות שגוי לגביהם, וצריך לבדוק את הקטעים האלה בנפרד. נשים לב שבפתרון התעלמנו מהמקרה לדוגמה, במד״ר <math>\max\{0,x\}y-yy'=0</math> ולבסוף הפתרון הסופי הוא נחלק ב־<math>y</math> ואז <math>\int y'\mathrm dx=c\int\max\{0,x\}\mathrm edx</math>. כלומר <math>y=c+\begin{cases}^0,&x<0\\\frac{-x^2}2, c&x\inge0\mathbb Rend{cases}</math>. מקרה כללי: אם במקרה <math>y'c=f0</math> צריך לבדוק שהפתרון נכון ל־<math>x<0</math> (המקרה <math>x=0</math> נכון לפי רציפות)g. נציב במד״ר ונראה שהפתרון עדיין נכון.-->{{פס|{{עוגן2|ה-2|''הערה 2:''}} הגדרנו <math>c=c_2\sgn(y)</math> אזי , אך נשים לב ש־<math>c</math> מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: <math>\int\frac{\mathrm dy}e^{g-x^2}>0</math> לכל <math>x</math> ומכאן שלא קיימת נקודה שבה <math>y=0</math>. לפיכך, מפני ש־<math>y</math> רציפה, <math>y</math> אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר <math>\sgn(y)</math> קבוע. כך נקבל שגם <math>c</math> קבוע, כדרוש.}}עתה נתייחס למקרה שבו <math>y\equiv0</math>. הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא <math>y=c{\int f(mathrm e}^{-x)^2},\mathrm dxquad c\in\mathbb R</math>.{{משל}}

הצורה הכללית של מד״ר עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלינוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)'=y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2f(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)=x_0</math> פתרון (במובן כלשהו). אם <math>N_1g(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל אזי <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)dy}{N_1g(y)}\mathrm dy=c</math>. דוגמה: <math>x^2y^2y'=y-1</math>. בכתיב דיפרנציאלי <math>x^2y^2\mathrm dy+int f(1-yx)\mathrm dx=0</math> פתרונות: <math>y=1\ \or\ x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. לכן <math>\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c=-\frac1x+c</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2-y-\ln|y-1|}</math>.

=== מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים צורה כללית ===<math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> כלומר <math>f(z)=y'=\frac{z'-a}b</math> ולכן <math>\int\frac{z'}{bf(z)+a}\mathrm dx=x+c</math>. נסמן את אגף שמאל כ־<math>g(z)</math> ולכן <math>g(ax+by)=x+C</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.

'''דוגמההצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי:''' <math>M_1(x)N_1(y'=)\frac{1-xmathrm dx+y}{M_2(x-)N_2(y})\mathrm dy=0</math>. אזי עבור אם <math>zN_1(y_0)=x-y0</math> נקבל עבור <math>z'=y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)\frac{2z-1}zequiv y_0</math>פותר את המד״ר. לפיכך אם <math>\int\frac{zz'}{2z-1}\mathrm dxM_2(x_0)=\int\left0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\righty)\mathrm dx=1equiv x_0</math>פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). מכאן ש־אם <math>\frac z2+\frac14\ln\left|z-\frac12\right|=N_1(y)M_2(x+c)\ne0</math> ולבסוף: נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x-y)}2{M_2(x)}\mathrm dx+\frac14int\ln\left|x-frac{N_2(y-\frac12)}{N_1(y)}\right|mathrm dy=x+c</math>.

=== מד״ר הומוגנית =פתורות ע״י הפרדת משתנים ==פונקציה נתונה מד״ר מהצורה <math>y'=f(x,yax+by)</math> נקראת הומוגנית מסדר . נגדיר <math>kz=ax+by</math> אם לכל , לכן <math>\lambda>0z'=a+by'</math> מתקיים ולפיכך {{left|<math>f\begin{align}&z'=a+bf(z)\lambda \\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x,+c\lambda yend{align}</math>}}לכן <math>g(ax+by)=x+c</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\lambdafrac{g^k f{-1}(x,+c)-ax}b</math>. === דוגמה ===<math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל{|{{=|o= |r=z'=1-y'=\frac{2z-1}z }}{{=|o=\implies |r=\frac{zz'}{2z-1}=1 |c=נניח <math>z\not\equiv\frac12</math>:}}{{=|o=\implies |r=\int\frac z{2z-1}\mathrm dz=\int\mathrm dx }}{{=|o=\implies |r=\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dz=x+c }}{{=|o=\implies |r=\frac z2+\frac14\ln\left\vert z-\frac12\right\vert=x+c}}{{=|o=\implies |r=\frac{x-y}2+\frac14\ln\left\vert x-y-\frac12\right\vert=x+c }}|}הצבת <math>z\equiv\frac12</math> נותנת <math>y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1</math> ולכן <math>y=x+\frac12</math>פתרון.{{משל}}

דוגמאות== הומוגניות =='''הגדרה:''' פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת ''הומוגנית מסדר <math>k</math>'' אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>. למשל:* <math>f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 0כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x-\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=\frac{x-y}{x+y}=\lambda^0f(x,y)</math>.* <math>f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^2x^2+3\lambda^2y^2+8\lambda^2xy=\lambda^2f(x,y)</math>.

פונקציה <math>f(x,y)</math> ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)</math> לכל <math>x\ne0</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

<math>\Longleftarrow</math>: טריוויאלי<math>f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y)</math>. <math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. נבחר אם <math>\lambda=\frac1xx>0</math> (כאשר נבחר <math>x>0\lambda=\frac1x</math>) ולכן <math>f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=\underbrace{f\left(1,\frac yx\right)}_{=\varphivarphi_1\left(\frac yx\right)}=f(x,y)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>, ואז <math>f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphi_2\left(\frac yx\right)</math>. {{משל}} === מד״ר הומוגנית ==='''הגדרה:''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'=g\left(\frac yx\right)</math> אזי היא נקראת ''הומוגנית''.

'''הגדרהניתן לפתור כל מד״ר הומוגנית באמצאות ההצבה <math>z=\frac yx</math>:מתקיים <math>g(z)=y'=(zx)'=z' x+z</math> ולכן אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'z\not\equiv g(z)</math> אז{{left|<math>\begin{align}&g(z)-z=xz'\\\implies&\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}=\int\frac{\mathrm dx}x\end{align}</math>}}עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h(z)=h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math>. במידה ו־<math>h</math> הפיכה <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math> אזי היא נקראת הומוגנית.

'''דוגמה:''' <math>z(x)=\frac yx</math> לכן <math>y=zx\implies g(z)=y'=z'x+z</math>. אזי <math>\int\frac{\mathrm dz}{g(z)-z}תרגיל ===\int\frac{\mathrm dx}x=פתרו </math> ולפיכך, עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h\left(\frac yx\right)xy'=\ln|x|+cy</math> ואז עם תנאי ההתחלה <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c3)=8</math> אם <math>h</math> הפיכה.

'''דוגמה:''' <math>xy'=x+y</math>. אם ==== פתרון =====בנקודות <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math> ואז . בנוסף, {{left|<math>\begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=(1</math>. לבסוף <math>+z)-z=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+xc_1c_1)\end{align}</math>. }} נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln(|cx)|,\quad c>0</math>. נתונים אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל <math>8=y(3)=83\ln|c\cdot3|</math> אזי ולפיכן <math>c=\frac13 frac{\mathrm e^{8/3}}3</math>. לסיכום, <math>y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right|</math>.{{משל}}