== מבוא ==
משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי <math>x</math> לבין משתנה תלוי <math>y</math>. בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.
הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא <math>F\Bigleft(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\Bigright)=0</math> (<math>F</math> פונקציה ב־<math>n+2</math> משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא <math>F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0</math>.
'''הגדרות:''' ''הסדר של מד״ר'' הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. ''המעלה'' היא החזקה הגבוהה ביותר של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:
* <math>2xy'-3y=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
* <math>2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0</math>: הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן <math>y'={\mathrm e}^{-x^2}</math> נקבל <math>y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx</math>, והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה <math>\mbox{erf}</math> שעבורה <math>y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c</math>.
'''הגדרה:''' ''צורה נורמלית'' של מד״ר היא <math>y^{(n)}=f\left(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right)</math> כאשר <math>n</math> סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, <math>y={\mathrm e}^{y'}+y'-x=0</math>.
''הערה:'' <math>\equiv</math> מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם <math>f(x)\equiv g(x)</math> אז בפרט <math>f(x)=g(x)</math>, ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־<math>\equiv</math> שיוויון זהותי.
תהי <math>F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)</math> פונקציה לינארית במשתנים <math>z_0,\dots,z_n</math>. אזי המד״ר המתאימה <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0</math> תקרא לינארית. <math>\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0</math>, למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: <math>y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)</math>. אם <math>f(x)\equiv0</math> אזי המד״ר נקראת "לינארית הומוגניתלינארית־הומוגנית". דוגמה: <math>(y')^2+x^2+2=0</math>.
'''הגדרה:''' ''פתרון של מד״ר'' הוא פונקציה <math>\varphi(x)</math> כך שבהצבת <math>y=\varphi(x)</math> המד״ר הופכת לזהות <math>F\left(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x)\right)\equiv0</math>. דוגמה: <math>\varphi(x)=x^2</math> היא פתרון של <math>xy'-2y=0</math> מפני שבהצבה <math>y=\varphi(x)</math> נקבל <math>x(2x)-2x^2=0</math>, מה שמתקיים תמיד.
'''הגדרה:''' ''פתרון כללי של מד״ר'' הוא משפחת פונקציות <math>\varphi(x,c_1,\dots,c_n)</math> שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־<math>n</math> פרמטרים וגזיר <math>n</math> פעמים לפי <math>x</math>. דוגמה:{{left|<math>\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}</math>}}{{משל}}
== מד״ר מסדר ראשון ==
'''הגדרה:''' ''מד״ר מסדר ראשון'' היא מד״ר מהצורה <math>F(x,y,y')=0</math>. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא <math>y'=f(x,y)</math>. דוגמאות:{{left|
# <math>xy'=x+y</math>
מד״ר 2 שקולה ל־<math>\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx</math> ומד״ר 3 שקולה ל־<math>\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0</math>. אלה הצורות הדיפרנציאליות.
=== בעיית קושי ===
בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר <math>y'=f(x,y)</math> המקיים תנאי התחלה <math>y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0</math>.
=== פתרון רגולרי וסינגולרי ===
'''הגדרות:''' בהנתן פתרון כללי של מד״ר <math>y=\varphi(x,c)</math>, פתרון המתקבל ע״י הצבת <math>c=c_0</math> מסוים נקרא ''פתרון פרטי'', ''רגולרי'' או ''רגיל''. פתרון שאינו מתקבל מ־<math>c</math> מסוים נקרא ''פתרון סינגולרי'' או ''מיוחד''. דוגמה: נתונה המד״ר <math>(y')^2=4y</math>. הפתרון הרגולרי הכללי הוא <math>y=(x+c)^2</math> לכל <math>c</math>, כגון <math>y=(x+3)^2</math>. <math>y=0</math> פתרון סינגולרי.
=== משפט הקיום והיחידות ===
נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית <math>y'=f(x,y)</math>. אם הפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה <math>y</math> בסביבה מסוימת של הנקודה <math>(x_0,y_0)</math> אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־<math>(x_0,y_0)</math> (כלומר מקיים <math>y(x_0)=y_0</math>).
'''תזכורת:''' <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|</math>.
=== מד״ר עם משתנים מופרדים ======= דוגמה ====
נתון <math>2xy+y'=0</math>. אזי
{|
{{=|o=\implies |r=y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\ne0 |c=נציב <math>c:=c_2\sgn(y)</math>:{{הפניה|ה-2|2}}}}
|}
[[#ה-1-ref|^]] {{עוגןעוגן2|ה-1|''הערה 1:''}} הנחנו ש־<math>y\not\equiv0</math> וחילקנו ב־<math>y</math>, אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן <math>y=0</math>? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־<math>y</math> גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם <math>y\ne0</math>. אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בנקודות שבהן בקצוות הקטעים. <!--לעומת זאת, במידה ויש קטעים שלמים שבהם הפתרון נותן <math>y\equiv0</math> אז הוא עלול להיות שגוי לגביהם, וצריך לבדוק את הקטעים האלה בנפרד. לדוגמה, במד״ר <math>\max\{0,x\}y-yy'=0</math> נחלק ב־<math>y</math> ואז <math>\int y'\mathrm dx=\int\max\{0,x\}\mathrm dx</math>.כלומר <math>y=c+\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x^2}2,&x\ge0\end{cases}</math>. במקרה <math>c=0</math> צריך לבדוק שהפתרון נכון ל־<math>x<0</math> (המקרה <math>x=0</math> נכון לפי רציפות). נציב במד״ר ונראה שהפתרון עדיין נכון.-->{{פס|[[#ה-2-ref|^]] {{עוגןעוגן2|ה-2|''הערה 2:''}} הגדרנו <math>c=c_2\sgn(y)</math>, אך נשים לב ש־<math>c</math> מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: <math>\mathrm e^{-x^2}>0</math> לכל <math>x</math> ומכאן שלא קיימת נקודה שבה <math>y=0</math>. לפיכך, מפני ש־<math>y</math> רציפה, <math>y</math> אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר <math>\sgn(y)</math> קבוע. כך נקבל שגם <math>c</math> קבוע, כדרוש.}}
עתה נתייחס למקרה שבו <math>y\equiv0</math>. הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא <math>y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\in\mathbb R</math>. {{משל}}
נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם <math>y'=f(x)g(y)</math> אזי <math>\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx</math>.
==== צורה כללית ====
הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>N_1(y_0)=0</math> עבור <math>y_0</math> כלשהו אזי <math>y(x)\equiv y_0</math> פותר את המד״ר. אם <math>M_2(x_0)=0</math> עבור <math>x_0</math> כלשהו אזי <math>x(y)\equiv x_0</math> פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם <math>N_1(y)M_2(x)\ne0</math> נחלק בהם ונקבל <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c</math>.
===== דוגמה =====
<math>x^2y^2y'=y-1</math>. נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל <math>x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0</math>. הפתרונות הם <math>y=1</math> או <math>x=0</math> או <math>\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0</math>. במקרה האחרון <math>-\frac1x=\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c_1</math>. לא נצליח לחלץ את <math>y</math>, אבל נוכל לחלץ את <math>x</math>: <math>x=\frac1{c-y^2/2-y-\ln|y-1|}</math> (כאשר <math>c=-c_1</math>). {{משל}}
=== מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים ===
נתונה מד״ר מהצורה <math>y'=f(ax+by)</math>. נגדיר <math>z=ax+by</math>, לכן <math>z'=a+by'</math> ולפיכך {{left|<math>\begin{align}&z'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x+c\end{align}</math>}}
לכן <math>g(ax+by)=x+c</math> ואם <math>g</math> הפיכה אזי <math>y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b</math>.
==== דוגמה ====
<math>y'=\frac{1-x+y}{x-y}</math>. אזי עבור <math>z=x-y</math> נקבל
{|
הצבת <math>z\equiv\frac12</math> נותנת <math>y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1</math> ולכן <math>y=x+\frac12</math> פתרון. {{משל}}
=== הומוגניות ===
'''הגדרה:''' פונקציה <math>f(x,y)</math> נקראת ''הומוגנית מסדר <math>k</math>'' אם לכל <math>\lambda>0</math> מתקיים <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)</math>. למשל:
* <math>f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}</math> הומוגנית מסדר 0 כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x-\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=\frac{x-y}{x+y}=\lambda^0f(x,y)</math>.
* <math>f(x,y)=x^2+3y^2+8xy</math> הומוגנית מסדר 2 כי <math>f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^2x^2+3\lambda^2y^2+8\lambda^2xy=\lambda^2f(x,y)</math>.
==== משפט ====
פונקציה <math>f(x,y)</math> ניתנת לכתיבה בצורה <math>f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)</math> לכל <math>x\ne0</math> אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.
===== הוכחה =====
<math>\Longleftarrow</math>: <math>f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y)</math>.
<math>\implies</math>: נתון <math>f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)</math>. אם <math>x>0</math> נבחר <math>\lambda=\frac1x</math> ולכן <math>f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=f\left(1,\frac yx\right)=\varphi_1\left(\frac yx\right)</math>. במקרה <math>x<0</math> נציב <math>\lambda=-\frac1x</math>, ואז <math>f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphi_2\left(\frac yx\right)</math>. {{משל}}
==== מד״ר הומוגנית ====
'''הגדרה:''' אם ניתן לכתוב את המד״ר בצורה <math>y'=g\left(\frac yx\right)</math> אזי היא נקראת ''הומוגנית''.
עבור <math>h(z)</math> המוגדרת כאגף שמאל, <math>h(z)=h\left(\frac yx\right)=\ln|x|+c</math>. במידה ו־<math>h</math> הפיכה <math>y=xh^{-1}(\ln|x|+c)</math>.
===== תרגיל =====
פתרו <math>xy'=x+y</math> עם תנאי ההתחלה <math>y(3)=8</math>.
====== פתרון ======בנקודות <math>x\ne0</math> נקבל <math>y'=1+\frac yx=1+z</math>. בנוסף, {{left|<math>\begin{align}&y=zx\\\implies&y'=(zx)'=z'x+z\\\implies&z'x=z-(1+z)-z=1\\\implies&\int z'\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}x\\\implies&z=\ln|x|+c_1\\\implies&y=xz=x(\ln|x|+c_1)\end{align}</math>}} נסמן <math>c={\mathrm e}^{c_1}</math> ולפיכך <math>y=x\ln|cx|,\quad c>0</math>. אם נציב את תנאי ההתחלה נקבל <math>8=y(3)=3\ln|c\cdot3|</math> ולפיכן <math>c=\frac{\mathrm e^{8/3}}3</math>. לסיכום, <math>y=x\ln\left|\frac{\mathrm e^{8/3}}3x\right|</math>. {{משל}}