שינויים

<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math>. לכן <math>\frac{\partial\mu}{\partial y}</math> מתאפס ומכאן נובע (כאשר <math>a:=\frac{\frac{\partial QP}{\partial xy}-\frac{\partial PQ}{\partial yx}}Q</math>) ש־{{left|<math>\begin{align}&-\frac{\partial\mu}{\partial x}=a\mu\\\implies&\frac{\partialmathrm d\mu}\mu\mathrm dx=-a\mathrm dx\\\implies&\mu(x)=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}\end{align}</math>}}

<math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>y</math>. זה מתקיים אם״ם <math>b:=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>.

מתקיים <math>\frac{\partial P}{\partial y}=-x^2\ne\frac{\partial Q}{\partial x}=2xy-3x^2</math>, כלומר המד״ר אינה מדויקת. נשים לב ש־<math>\frac{\frac{\partial QP}{\partial xy}-\frac{\partial PQ}{\partial yx}}Q=-\frac2x</math>, כלומר תלויה אך ורק ב־<math>x</math>, ולכן נגדיר <math>\mu=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int-\frac2x\mathrm dx}=\mathrm e^{-2\ln|x|}=-\frac1{x^2}</math>. נכפיל את אגפי המד״ר ב־<math>-\mu</math> ונקבל <math>\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx+(y-x)\mathrm dy=0</math>. המד״ר החדשה מקיימת <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1</math>, ומכאן נוכל להמשיך לפתור כרגיל: מתקיים <math>U=\int\left(\frac1{x^2}-y\right)\mathrm dx=-\frac1x-xy+c_y(y)</math> וגם <math>y-x=\frac{\partial U}{\partial y}=-x+c_y'(y)</math>. אזי <math>c_y'(y)=y\implies c_y(y)=\frac{y^2}2+c</math>, ולבסוף הפתרון הוא <math>U=-\frac1x-xy+\frac{y^2}2+c=0</math>. {{משל}}