''הערה:'' אינטגרל לא מסוים המסומן ב־<math>\int</math> הוא הצורה הכללית לפונקציות הקדומות לאינטגרנד, כלומר מוסיפים קבוע (למשל: <math>\int x\mathrm dx=\frac{x^2}2+c</math>). לעומת זאת, <math>\sim\!\!\!\!\!\!\int</math> נותן פונקציה קדומה אחת בלבד, ללא <math>c</math> (למשל: <math>\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dx=\frac{x^2}2</math>).נעיר שאינטגרל כזה לא תמיד מוגדר היטב, אבל זה לא משנה לצרכנו כל עוד נבחר אותו קבוע לכל הופעה של האינטגרל.
== משפטים חשובים ==
* ''תזכורת:'' נאמר שפונקציה <math>f</math> מקיימת את תנאי ליפשיץ אם <math>\exists k>0:\ \forall x_1,x_2:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|</math>. פונקציה גזירה היא ליפשיץ אם״ם הנגזרת שלה חסומה.
* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec mathbf f(x,\vec mathbf y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec mathbf y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec mathbf y(x_0)=\vec mathbf y_0</math>. אזי למערכת <math>\mathbf y'=\mathbf f(x,\mathbf y)</math> יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec mathbf y)\in B}|f_k(x,\vec mathbf y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>.
* כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math> ונקבל <math>q_p'=g\!\left(\frac qp\right)</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>.
* '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>.
* '''מד״ר לינארית:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)</math>. אם היא לינארית־הומוגנית אזי <math>y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}</math>, ובכל מקרה <math>y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>.
* '''משוואת ברנולי:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. נציב <math>z=y^{1-n}</math>, כאשר אם <math>n>1</math> אז <math>y\equiv0</math> פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־<math>\pm\infty</math>), אם <math>0<n<1</math> אז פתרון סינגולרי, ואם <math>n<0</math> אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>.
* מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>.
* אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>p=y'</math> ואז <math>x=\frac yp+\int\frac y{p^2}\mathrm dp</math>. לחלופין, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>.
* אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>p=y'</math> ואז <math>y=px-\int x\mathrm dp</math>. לחלופין, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>p=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>.
* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) , <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה.
* '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>.
* '''משוואת לגראנז׳:''' נתונה המד״ר <math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math> עבור <math>\varphi(y')\not\equiv y'</math>. נציב <math>p:=y'</math> ואז <math>p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}</math>. לפיכך הפתרון הכללי הוא <math>\begin{cases}x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\displaystyle\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp\\y=x\varphi(p)+\psi(p)\end{cases}</math> או <math>y=p_i x+\psi(p_i)</math> לכל <math>p_i</math> כך ש־<math>p_i=\varphi(p_i)</math>.
* '''שיטת ההצבה:''' נתונה המערכת <math>\begin{cases}y_1'=g(y_1,y_2)\\y_2'=h(y_1,y_2)\end{cases}</math>. אזי <math>\frac{\mathrm dy_1}{\mathrm dy_2}=\frac{g(y_1,y_2)}{h(y_1,y_2)}</math> ולכן ניתן למצוא את <math>y_1</math> כתלות ב־<math>y_2</math> או להפך. את הפתרון נותר להציב במערכת ולפתור שתי מד״ר נפרדות.
===== מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים =====
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא <math>\mathbf y'=\mathbf{Ay}+\mathbf f</math> כאשר <math>\mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}lambda_i</math>, הם הע״ע של <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}</math> (<math>a_{i,j}</math> קבועים) ו־<math>\mathbf f(x)=in\begin{pmatrix}f_1(x)1,\dots,n\f_2(x)\\\vdots\\f_n(x)\end{pmatrix}</math>. כמו כןייתכן שחלק מהע״ע שווים), נסמן ב־ו־<math>\lambda_imathbf v_i</math> (הם הו״ע המתאימים להם, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, <math>i\in\{1\mathbf v_1,\dots,n\mathbf v_n\}</math>) צריכים לפרוש את הע״ע של <math>\mathbf Amathbb C^n</math> (יתכן שחלק מהע״ע שווים), וב־מעל השדה <math>d_i\mathbb C</math> את הריבויים האלגבריים המתאימים להם).* לכל <math>i</math>, אם <math>\mathbf v_i</math> ו״ע המתאים ל־<math>\lambda_i</math> אז <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> פתרון של המערכת ההומוגנית המתאימה.
* ''תזכורת:'' מטריצה <math>\mathbf A</math> לכסינה אם״ם קבוצת הו״ע שלה היא <math>\mathbb C^n</math>, מה שמתקיים אם״ם הריבוי האלגברי של כל ע״ע שווה לריבויו הגיאומטרי. תנאי מספיק (אך לא הכרחי) לכך הוא שכל הע״ע שונים.
* אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לכסינה אז <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> הוא הפתרון הכללי, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, <math>\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> שנבחרו צריכים לפרוש את <math>\mathbb C^n</math> מעל השדה <math>\mathbb C</math>).
* אם <math>\mathbf A</math> לכסינה נסמן ב־<math>\mathbf P</math> מטריצה מלכסנת שלה: <math>\mathbf P^{-1}\mathbf{AP}=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math>. נגדיר <math>\mathbf z=\mathbf P^{-1}\mathbf y</math> ולכן <math>\mathbf z'=\mathbf P^{-1}\mathbf y'=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\mathbf z+\mathbf P^{-1}\mathbf f</math>, ונותר לפתור <math>n</math> מד״ר נפרדות ולהציב ב־<math>\mathbf y=\mathbf{Pz}</math>.
* אם המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\sum_{i=1\lambda_i}^n \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במערכת המד״רו־<math>d_i</math> הריבוי האלגברי של <math>\lambda_i</math>.* נניח ש־<math>n=2</math> והמערכת הומוגנית. נסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> וגם <math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1'-a d y_1\\&=(a+d)y_1'+(bc-ad)y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2 וכן להציב ב־<math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>.