שינויים
== משפטים חשובים ==
* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>.
=== מד״ר מכל סדר ===
==== מד"ר מד״ר לינארית ====* מרחב הפתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית מסדר בפרק זה המד״ר היא תמיד <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)</math> , וכן <math>P_m(x),Q_m(x)</math> הם פולינומים ממעלה <math>m</math> או פחות.* אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי.
* '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>.
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל.
* '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=0</math> המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>.* הפתרון הכללי של מד״ר לינארית <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> המד״ר הוא מהצורה <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> פתרון כרצוננו הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.* '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונה המד״ר <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> ונתונים נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.* תהי <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=0</math> מד״ר נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ואז ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וכן וגם <math>\sum_{k=0}^n a_k r^k=0</math>. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}P_\sum_{d_ki=0}(x)</math> (כאשר המקדמים בפולינמים <math>P_^{d_k}c_{k,i}x^i</math> הם מספרים כרצוננו). אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i\beta</math> ואז, כיוון שגם ש־<math>\overline{r_k}</math> שורשעם אותו ריבוי, נעזר ב־נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x)\Big)</math>.* תהי '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>y^{f(nx)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=P_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. , כאשר <math>\lambda</math> קבוע כלשהו קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> ב־<math>P_m(x)</math> הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>x^dQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\deg P_m=\deg Q_m</math>.<br>''הערה:'' אם <math>y^{f(nx)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=fg(x)+gh(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>fg(x),gh(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.
