שינויים
* נתונה מד״ר מהצורה <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> כאשר <math>\forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b)</math> ותהי <math>x_0\in(a,b)</math>. אם <math>f</math> וכל המקדמים <math>a_k</math> אנליטיים סביב <math>x_0</math> עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב <math>x_0</math> של המד״ר עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר.
* '''טור פרוביניוס''' הוא טור מהצורה <math>(x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k</math>.
* בהנתן <math>a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0</math> נחלק ב־<math>a_2(x)</math>. תהי <math>x_0</math> נקודה סינגולרית של <math>\frac1{a_2(x)}</math>. אם קיימים הגבולות <math>L_k=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^{2-k}\frac{a_k(x)}{a_2(x)}</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>0=(x-x_0)^2y''+\frac{a_1(x)}{a_2(x)}(x-x_0)y'+\frac{a_0(x)}{a_2(x)}y=(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_0+o(1))y</math>. לפי משפט, אם <math>x_0</math> נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב <math>x_0</math> בצורת בצורת טור פרוביניוס. לכן נפתור עבור <math>o(1)=0</math>, נציב <math>y=(x-x_0)^r</math> ונקבל את הפתרונות בצורת טורים של המד״ר עם <math>o(1)=0</math> (אם פתרונות הפולינום האופייני של המד״ר עם <math>o(1)=0</math> הם <math>r_1,r_2</math> אז <math>y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty (x-x_0)^i b_{k,i} (x-x_0)^i</math> פתרון פרטי). נציב פתרונות אלו במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.<br>''הערה:'' נאמר ש־<math>f\in o(g)</math> אם <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>. לעתים כותבים "<math>o(1)</math>" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.
:* '''משוואת בסל:''' <math>x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0</math>. מתקיים <math>y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0</math> ולכן <math>\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2</math>, כלומר <math>0</math> סיגולריות־רגולרית.
:* '''פונציית גמא:''' <math>\Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt</math>. היא מקיימת <math>\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)</math> וגם <math>\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>.
:* '''משוואת אוילר:''' <math>x^2y''+xy'-m^2y=0</math>.
