שינויים
* בהנתן מד״ר <math>y''=f(x,y')</math> או <math>y''=f(y,y')</math> נציב <math>z=y'</math> ונקבל <math>z'=f(x,z)</math> או <math>zz_y'=f(y,z)</math>, בהתאמה. מתקיים <math>x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math> ו־<math>y=\int z\mathrm dx</math>.
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)</math>.
* אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
:* אם <math>f(x)=(x-x_0)^\lambda\sum_{k=0}^m b_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>\lambda</math> קבועה, והריבוי של <math>\lambda</math> במשוואה האינדיציאלית הוא <math>d</math> (אם לא שורש <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>(x-x_0)^\lambda\ln^d(x-x_0)\sum_{k=0}^m B_k \ln^k(x-x_0)</math> כאשר <math>b_m,B_m\ne0</math>.
* נתונה מד״ר מהצורה <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1} a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> כאשר <math>\forall k:\ f(x),a_k(x)\in C(a,b)</math> ותהי <math>x_0\in(a,b)</math>. אם <math>f</math> וכל המקדמים <math>a_k</math> אנליטיים סביב <math>x_0</math> עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב <math>x_0</math> של המד״ר עם רדיוס התכנסות <math>R</math> או יותר.
* '''טור פרוביניוס''' הוא טור מהצורה <math>(x-x_0)^r\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k</math>.
* '''שיטת פרוביניוס:''' בהנתן <math>a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=0</math> נחלק ב־<math>a_2(x)</math>. תהי <math>x_0</math> נקודה סינגולרית של <math>\frac1{a_2(x)}</math>. אם קיימים הגבולות <math>L_1=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\frac{a_1(x)}{a_2(x)},L_2=\lim_{x\to x_0}(x-x_0)^2\frac{a_0(x)}{a_2(x)}</math> הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת <math>x_0</math> נקבל <math>(x-x_0)^2y''+(L_1+o(1))(x-x_0)y'+(L_2+o(1))y=0</math>. לפי משפט, אם <math>x_0</math> נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב <math>x_0</math> בצורת בצורת טור פרוביניוס. נחשב את הפולינום האופייני של המד״ר עם <math>o(1)=0</math> ע״י הצבת <math>y=(x-x_0)^r</math>, ואם פתרונות הפולינום הם <math>r_1,r_2</math> אזי יש שני פתרונות פרטיים בת״ל מהצורה <math>y_k=(x-x_0)^{r_k}\sum_{i=0}^\infty b_{k,i}(x-x_0)^i,\quad k\in\{1,2\}</math> כאשר <math>r_1-r_2\not\in\mathbb Z</math> ו־<math>y_1=(x-x_0)^{r_1}\sum_{i=0}^\infty b_{1,i}(x-x_0)^i,y_2=y_1\ln(x-x_0)+(x-x_0)^{r_2}\sum_{i=0}^\infty b_{2,i}(x-x_0)^i</math> כאשר <math>r_1-r_2\in\mathbb Z</math> ומתקיים בה״כ <math>r_1\ge r_2</math>. נציב אותם במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.<br>''הערה:'' נאמר ש־<math>f\in o(g)</math> אם <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>. לעתים כותבים "<math>o(1)</math>" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.
:* '''פונציית גמא:''' <math>\forall x>0:\ \Gamma(x):=\int\limits_0^\infty t^{x-1}\mathrm e^{-t}\mathrm dt</math>. היא מקיימת <math>\Gamma(xּּ+1)=x\Gamma(x)</math> וגם <math>\forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n)=(n-1)!</math>. ערך חשוב: <math>\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt\pi</math>.
:* '''פונקציית בסל:''' <math>J_m(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Gamma(m+1)}{2^{2k}k!\Gamma(m+k+1)}x^{2k+m}</math> כאשר <math>m</math> נקראת היא ''דרגת הפונקציה''. :* '''משוואת בסל:''' <math>x^2y''+xy'+(x^2-m^2)y=0</math>. מתקיים <math>y''+\frac1xy'+\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=0</math> ולכן <math>\lim x\frac1x=1,\ \lim x^2\left(1-\frac{m^2}{x^2}\right)=-m^2</math>, כלומר 0 סיגולריות־רגולרית. השורשים של הפולינום האופייני הם <math>\pm m</math> ולכן, כאשר <math>m\not\in\frac12\mathbb Z</math>, הפתרון הכללי הוא <math>c_1 J_m(x)+c_2 J_{-m}(x)</math>. ==== מערכות מד״ר ==== ===== מערכות מד״ר לינאריות־הומוגניות מסדר 1 עם מקדמים קבועים =====בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא <math>m\inmathbf y'=\frac12mathbf{Ay}</math> כאשר <math>\mathbb Zmathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}</math> אז הפתרון הכללי הוא ו־<math>c_1 J_m\mathbf A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}</math> (x<math>a_{i,j}</math> קבועים)+c_2 N_m(. כמו כן, נסמן ב־<math>\mathbf v_i</math> את הו״ע של <math>\mathbf A</math>, ב־<math>\lambda_i</math> את הע״ע המתאימים להם וב־<math>d_i</math> את הריבויים האלגבריים של <math>\lambda_i</math>.* לכל <math>i</math>, <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x)}</math> כאשר פתרון של המד״ר.* אם <math>N_m(\mathbf A</math> לכסינה אז <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x)}</math> הוא הפתרון הכללי.* אם <math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\fracsum_{J_mi=1}^n \cos(mathrm e^{\pi m)-J_lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-m1}\mathbf u_{i,j}(x)^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במד״ר.* נניח ש־<math>n=2</math> ונסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\sin(\pi mc&d\end{pmatrix}</math>. אזי <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> ולכן <math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1-a d y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2.
