שינויים
/* מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים */
===== מערכות מד״ר לינאריות מסדר 1 עם מקדמים קבועים =====
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, מערכת המד״ר היא <math>\mathbf y'=\mathbf{Ay}+\mathbf f</math> כאשר <math>\mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}</math>, <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\a_{2,1}&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}</math> (<math>a_{i,j}</math> קבועים) ו־<math>\mathbf f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\\\vdots\\f_n(x)\end{pmatrix}</math>. כמו כן, נסמן ב־<math>\lambda_i</math> (כאשר <math>i\in\{1,\dots,n\}</math>) את הע״ע של <math>\mathbf A</math> (יתכן שחלק מהע״ע שווים), וב־<math>d_i</math> את הריבויים האלגבריים המתאימים להם.
* לכל <math>i</math>, אם <math>\mathbf v_i</math> ו״ע המתאים ל־<math>\lambda_i</math> אז <math>\mathbf y=\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> פתרון של המד״ר המערכת ההומוגנית המתאימה.* ''תזכורת:'' מטריצה <math>\mathbf A</math> לכסינה אם״ם קבוצת הו״ע שלה היא <math>\mathbb C^n</math>, מה שמתקיים אם״ם הריבוי האלגברי של כל ע״ע שווה לריבויו הגיאומטרי. תנאי מספיק (אך לא הכרחי) לכך הוא שכל הע״ע שונים.* אם המד״ר המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לכסינה אז <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n c_i\mathbf v_i\mathrm e^{\lambda_i x}</math> הוא הפתרון הכללי, כאשר הו״ע של אותו ע״ע הינם בת״ל (באופן שקול, <math>\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_n\}</math> שנבחרו צריכים לפרוש את <math>\mathbb C^n</math> מעל השדה <math>\mathbb C</math>).* אם <math>\mathbf A</math> לכסינה נסמן ב־<math>\mathbf P</math> מטריצה מלכסנת שלה: <math>\mathbf P^{-1}\mathbf{AP}=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math>. נגדיר <math>\mathbf z=\mathbf P^{-1}\mathbf y</math> ולכן <math>\mathbf z'=\mathbf P^{-1}\mathbf y'=\mbox{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)\mathbf z+\mathbf P^{-1}\mathbf f</math>, ונותר לפתור <math>n</math> מד״ר נפרדותולהציב ב־<math>\mathbf y=\mathbf{Pz}</math>.* אם המד״ר המערכת הומוגנית ו־<math>\mathbf A</math> לא לכסינה אז הפתרון הכללי מהצורה <math>\mathbf y=\sum_{i=1}^n \mathrm e^{\lambda_i x}\sum_{j=0}^{d_i-1}\mathbf u_{i,j} x^j</math> כאשר <math>\mathbf u_{i,j}</math> וקטורים שניתן לחשב ע״י הצבה במד״רבמערכת המד״ר.* נניח ש־<math>n=2</math> והמד״ר והמערכת הומוגנית. נסמן <math>\mathbf A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\begin{cases}y_1'=a y_1+b y_2\\y_2'=c y_1+d y_2\end{cases}</math> וגם <math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>. לבסוף,{{left|<math>\begin{align}y_1''&=a y_1'+b y_2'\\&=a y_1'+b(c y_1+d y_2)\\&=a y_1'+b c y_1+d y_1-a d y_1\end{align}</math>}}ונותר לפתור מד״ר מסדר 2וכן להציב ב־<math>y_2=\frac{y_1'-a y_1}b</math>.
