שינויים

<math>\frac{5z+5}{5z+4}\mathrm dz=5\mathrm dx</math>.{{left|<math>\begin{align}&\int\left(1+\frac1{5z+4}\right)\mathrm dz=\int5\mathrm dx\\\implies&z+\frac15\ln|5z+4|=5x+c\\\implies&3x+y+\frac15\ln|15x+5y+4|=5x+c\end{align}</math>}}

<math>y'=\frac{x+y-2}{z-y}</math>. אזי <math>\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}\ne0</math> ונציב באופן הנ״ל. מתקיים <math>y'=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{p+q+\alpha+\beta-2}{p-q+\alpha-\beta}</math>. נרצה ש־<math>\begin{cases}\alpha+\beta=2\\\alpha-\beta=0\end{cases}\implies\alpha=\beta=1</math>. לפיכך <math>q'=\frac{p+q}{p-q}=\frac{1+\frac qp}{1-\frac qp}</math> ונסמן <math>z=\frac qp</math>.לפיכך <math>\frac{1+z}{1-z}=\frac{\\mathrm dq}{\mathrm dp}=\frac{\mathrm d(p\cdot z)}{\mathrm dp}=z+p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}</math>. נקבל <math>\frac{1+z^2}{1-z}=p\frac{\mathrm dz}{\mathrm dp}</math> ומכאן ש־<math>\int\frac{\mathrm dp}p=\int\left(\frac1{1+z^2}-\frac z{1+z^2}\right)\mathrm dz\implies \ln|p|=\arctan(z)-\frac12\ln(1+z^2)+c</math>. לבסוף, <math>\ln|x-1|=\arctan\left(\frac{y-1}{x-1}\right)-\frac12\ln\left(1+\left(\frac{y-1}{x-1}\right)^2\right)+c</math>.

# כשהמעגל פתוח לא זורם בו זרם – משמע יש לנו תנאי התחלה <math>I(0)=0</math>. המד״ר היא <math>10I+3\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=50</math>. נביא לצורה <math>\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}+\underbrace{\frac{10}3}_{p(t)}I=\underbrace{\frac{50}3}_{q(t)}</math>. עפ״י הנוסחה מההרצאה, הפתרון הכללי הוא <math>I(t)=\mathrm e^{-\int p(t)\mathrm dt}\int q(t)\mathrm e^{\int p(t)\mathrm dt}\mathrm dt\right)=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\int\frac{50}3\mathrm e^{\frac{10}3t}\mathrm dt=\mathrm e^{-\frac{10}3t}\left(c+5\mathrm e^{\frac{10}3t}\right)=5+c\mathrm e^{-\frac{10}3t}</math>

<math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\in\mathbb R\setminus\{0,1\}</math>. ניתן להציב <math>z=y^{1-n}</math> ולקבל מד״ר לינארית, או לחלופין להשתמש בנוסחה המפלצתית <math>y(x)=\left(sqrt[1-n]{\mathrm e^{-\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{\int(1-n)p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>

פתור את המד״ר <math>2xy+2+\left(x^2+4\right)\frac{\mathrm dy}{\matrhrm mathrm dx}=0</math>.

ואם המד״ר לא מדוייקת? נכפיל פי <math>\mu(x,y)</math> ונגרוש ש־<math>\mu P\mathrm dx+\mu Q\mathrm dy=0</math> מדוייקת. כדי ש־<math>\mu</math> תהא תלויה ב־<math>x</math> בלבד צריך להתקיים <math>\frac{\frac{\partial }{}}{}</math>

פתרו <math>\left(1+y^3\right)\mathrm dx+\left(xy^2\right)\mathrm dy=0</math>. אזי <math>\frac{\partial Q}{\partial x}=y^2\ne\frac{\partail partial P}{\partial y}=3y^2</math>. ולכן המד״ר אינה מדויקת. אבל <math>\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q=-\frac2x</math>, כלומר התלות ב־<math>x</math> בלבד, כדרוש.