הוכיחו כי C אורתונורמלי אם"ם מטריצת המעבר בין B ל C אוניטרית.
'''הוכחה'''
ראשית, C אורתונורמלי אם"ם <math>G_C=I</math>.
כעת, לפי נוסחאת המעבר בין מטריצות גראם מתקיים
::<math>G_C=\Big([I]^B_C\Big)^tG_B\overline{[I]^B_C}</math>
אבל B אורתונורמלי ולכן <math>G_B=I</math>
וסה"כ קיבלנו <math>(G_C)^t=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C</math>
והרי <math>[I]^B_C</math> אורתונורמלית אם"ם <math>I=\Big([I]^B_C\Big)^*[I]^B_C=(G_C)^t</math>
אם"ם <math>G_C=I</math> אם"ם C אורתונורמלי
===2===
תהי A מטריצה אוניטרית. הוכיחו כי כל הערכים העצמיים של A הם מאורך 1.
'''פתרון:'''
יהי z ע"ע של A. אזי קיים וקטור <math>v\neq 0</math> כך ש <math>Av=zv</math>.
לכן
::<math>z\overline{z}<v,v>=<zv,zv>=<Av,Av>=(Av)^t\overline{Av}=v^tA^t\overline{Av}=v^t\overline{\overline{A^t}A}\overline{v}=v^t\overline{A^*A}\overline{v}</math>
כעת, כיוון ש A אוניטרית מתקיים <math>A^*A=I</math> ולכן ביחד אנו מקבלים:
::<math>z\overline{z}<v,v>=v^t\overline{v}=<v,v></math>
כיוון שהוקטור שונה מאפס, ניתן לחלק ב<math><v,v></math> על מנת לקבל
::<math>|z|^2=z\overline{z}=1</math>