שינויים

נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.

===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===

===דוגמה 5===

קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math> עבור צד ימין <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math></math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.