:::שוויון פרסבל גורר שהוקטור שייך למרחב שהקבוצה האורתונורמלית שלך פורסת. באי"ש קושי שוורץ מדובר בשני וקטורים, ולכן מבטאים את אי-שוויון בסל עם וקטור, ועוד קבוצה אורתונורמלית שמכילה וקטור חלקיי הנורמה שלו (בהנחה שהוא לא 0), כך שאתה מקבל שאם מתקיים שוויון פרסבל מתקיים שהוקטור הראשון שייך לספאן של הוקטור השני חלקי הנורמה שלו.
::::אני מדבר על שיוויון פרסבל עצמו, ללא קשר לשוורץ. ממש להוכיח את השיוויון פרסבל...
:::::כדי להוכיח את אי-שוויון בסל אתה לוקח קבוצה א"נ, ומשלים אותה לבא"נ של המרחב. בסופו של דבר, אתה תקבל כזה דבר:
|a_1|^2+...+|a_n|^2 = ||v||^2
וכן באגף השני תקבל:
|a_1|^2+...+|a_k|^2
עבור סקלרים, כאשר הקבא"נ בגודל k, והבא"נ בגודל n. לפי ההשלמה לבסיס מתקיים ש-n גדול או שווה ל-k. עכשיו, נניח שיש שוויון, אז נקבל ש-
a_{k+1}= . . . =a_n=0, כלומר n=k, ואז הקבא"נ מתחילת ההוכחה היא בעצם בא"נ למרחב, ואז לכל v במרחב יתקיים ש-v שייך לספאן של הקבוצה, וגם להפך: אם v שייך לספאן של הקבוצה, אזי הוא צ"ל של איבריה (כל V), ואז נקבל את השוויון הרצוי.
==שאלה - ריבוי אלגברי==
איך אני מגדיר ריבוי אלגברי בצורה "יפה"? האם מספיק לומר שהריבוי האלגברי של ערך עצמי a מוגדר להיות המעלה k של <math>(x-a)^k</math> בפולינום האופייני של המטריצה?