שינויים
'''הערה:''' הדעות חלוקות לגבי מה הוכחתם בהרצאה. בטוח הוכחתם ש-א שקול ל-ב. בתרגילי הבית הוכחתם ש-ב שקול ל-ג. העובדה ש-ג שקול ל-ד היא תרגיל טריוויאלי למדי.
'''הערה:''' מהמשפט נובע גם שכל מספר בר בנייה הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math>. לדוגמא, נובע ש-<math>\pi</math> אינו בר בנייה!
'''דוגמא:''' <math>\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}</math> הוא בר בנייה כי <math>\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}]</math> הוא מגדל שדות המקיים את תנאי המשפט ב-ב. (כמובן שהרבה יותר קל להוכיח את זה עם העובדה שאוסף המספרים ברי הבנייה הוא שדה שסגור להוצאת שורש...)
== שימוש באפיון האלגברי של מספרים ברי בנייה ==
המשפט האחרון מאפשר להכריע באופן אלגברי האם בניות מסויימות אפשריות או לא.
'''דוגמא:''' בהינתן עיגול לא ניתן לבנות ריבוע בעל שטח זהה לשטח העיגול ("לא ניתן לרבע את המעגל").
הסבר: בלי הגבלת כלליות ניתן להניח כי רדיוס העיגול הוא 1. אזי עלינו לבנות ריבוע בעל שטח <math>\pi</math>. אם זה אפשרי, אז אורך צלע הריבוע, <math>\sqrt{\pi}</math>, יהיה בר בנייה. וזה בלתי אפשרי לפי המשפט לעיל כי <math>\sqrt{\pi}</math> לא אלגברי (וזאת משום שאחרת, <math>\pi</math> היה אלגברי).
'''דוגמא:''' לא קשה לראות שניתן לבנות מצולע משוכלל עם <math>n</math> צלעות אם ורק אם <math>\rho_n=\exp(2\pi i/n)</math> בר בנייה. לפי המשפט, זה שקול לכך שהמימד של סגור גלואה של <math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> מעל <math>\mathbb{Q}</math> הוא חזקת 2. היות ו-<math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> כבר גלואה, זה שקול לכך ש-<math>\varphi(n)=[\mathbb{Q}[\rho_n]:\mathbb{Q}]</math> הוא חזקת 2.
מסקנה: לא ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 7 צלעות כי <math>\varphi(7)=6</math> (שאינו חזקת 2). מצד שני, ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 17 צלעות כי <math>\varphi(17)=16</math>.
