נוספו 5,420 בתים,
19:34, 4 בפברואר 2013 ==שאלה 1==
===סעיף א===
עבור נקודות <math>(x,y,z)\neq (0,0,0)</math> פשוט גוזרים את הפונקציה לפי <math>x</math>
<math>f_x(x,y,z)=\frac{zy\cos(xy){(x^2+y^2+z^2)}^\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{2}{3}}\cdot (2x)\cdot{(z\sin(xy))}}{{(x^2+y^2+z^2)}^\frac{2}{3}}</math>
עבור הנקודה <math>(x,y,z)=(0,0,0)</math> קל לראות ש
<math>\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t,0,0)-f(0,0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0-0}{t}=0</math>
===סעיף ב===
כמו שראינו בקלות ש <math>f_x(0,0,0)=0</math> קל לראות שגם <math>f_y(0,0,0)=0</math> ו <math>f_z(0,0,0)=0</math>.
ראשית נוודא ש <math>f</math> רציפה (לא חייבים, אבל בדר"כ שווה לבדוק. כי אם היא לא רציפה אז ברור שהיא לא דיפרנציאבילית).
נשים לב ש
<math>|\frac{z\sin(xy)}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{1}{3}}}|\leq |\frac{z}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{1}{3}}}|\leq
|\frac{z}{{(z^2)}^{\frac{1}{3}}}|=|z^{\frac{1}{3}}|\rightarrow 0</math>
ולכן <math>f</math> רציפה.
נבדוק דיפרנציאביליות
צריך לבדוק אם <math>\epsilon (h_1,h_2,h_3)</math> המוגדרת לפי:
<math>f(h_1,h_2,h_3)-f(0,0,0)=f_x(0,0,0)h_1+f_y(0,0,0)h_2+f_z(0,0,0)h_3+\epsilon(h_1,h_2,h_3)\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}</math>
מתכנסת ל <math>0</math> בנקודה <math>(0,0,0)</math>.
במקרה שלנו צריך לבדוק את:
<math>\lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3\sin (h_1 h_2)}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{1}{3}\cdot {(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^{\frac{1}{2}}}
= \lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}\frac{\sin(h_1 h_2)}{h_1 h_2}
</math>
היות ו
<math>\lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)} \frac{\sin(h_1 h_2)}{h_1 h_2} = 1</math>
נותר לבדוק את
<math>\lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}</math>
נשים לב ש
<math>|\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}|\leq |\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2)}^\frac{5}{6}}|
\leq |h_3||\frac{h_1 h_2}{{(2h_1 h_2)}^\frac{5}{6}}|= \frac{1}{2^{\frac{5}{6}}}|h_3||{(h_1 h_2)}^{\frac{1}{6}}|\rightarrow 0
</math>
דרך אחרת (שימושית כאשר יש במכנה דברים בסגנון <math>||h||</math>):
עוברים לקוארדינטות כדוריות
<math>h_1 = r\cos \theta \sin \varphi,\quad h_2 = r\sin \theta \sin \varphi ,\quad h_3 = r \cos \varphi</math>
ואז צריך לחשב גבול
<math>\lim_{r\rightarrow 0}\frac {r^3 \cos \theta \sin \theta \sin ^2 \varphi \cos \varphi}{{(r^2)}^{\frac{5}{6}}}
=\lim_{r\rightarrow 0} {r^{\frac{8}{6}} \cos \theta \sin \theta \sin ^2 \varphi \cos \varphi}=0
</math>
ולכן <math>f</math> דיפרנציאבילית ב <math>(0,0,0)</math>.
==שאלה 3==
<math>x^2+y^2=\frac{1}{2}z^2</math>
<math>x+y+z=2</math>
הנגזרות החלקיות של הפונקציות
<math>f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0</math>
<math>f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0</math>
קיימות עד איזה סדר שרוצים.
כמו כן, הנקודה <math>(1,-1,2)</math> מקיימת את מערכת המשוואות.
נבדוק את התנאי של משפט הפונקציה הסתומה
<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2x & 2y \\
1 & 1 \end{bmatrix}
</math>
בנקודה <math>(1,-1,2)</math> נקבל את המטריצה
<math>
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
1 & 1 \end{bmatrix}
</math>
שהיא מטריצה הפיכה.
לכן לפי משפט הפונקציה הסתומה, אכן מוגדרות פונקציות של
<math>x,y</math> לפי <math>z</math>
לפי משפט הפונקציה הסתומה, קיימת סביבה של הנקודה
<math>(1,-1,2)</math> שבה מתקיים:
<math>
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{dx}{dz} \\
\frac{dy}{dz}
\end{bmatrix}
=
-\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial z} \\
\frac{\partial f_1}{\partial z} \end{bmatrix}
</math>
כלומר במקרה שלנו:
<math>\begin{bmatrix}
2x & 2y \\
1 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{dx}{dz} \\
\frac{dy}{dz}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
z \\
-1 \end{bmatrix}
</math>
אם פותרים את המשוואות
רואים ש
<math>
\begin{bmatrix}
\frac{dx}{dz} \\
\frac{dy}{dz}
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{2x-2y}
\begin{bmatrix}
1 & -2y \\
-1 & 2x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z \\
-1 \end{bmatrix}
</math>
כלומר:
<math>\frac{dx}{dz} = \frac{z+2y}{2x-2y},\quad \frac{dy}{dz}=\frac{-z-2x}{2x-2y} </math>
מכאן, על ידי הצבה של <math>(1,-1,2)</math> קל לראות שבנקודה <math>z=2</math> מתקיים
<math>\frac{dx}{dz}(2)=0,\quad \frac{dy}{dz}(2)=-1</math>
כמו כן נחשב את <math>x''(z)</math> בסביבה של <math>(1,-1,2)</math> על ידי גזירה רגילה לפי <math>z</math> (אבל נשים לב ש <math>x,y</math> הם פונקציות של <math>z</math>):
<math>x''(z)=\frac{(1+2y')(2x-2y)-(z+2y)(2x'-2y')}{(2x-2y)^2}</math>
נציב <math>x=1,y=-1,z=2,x'=0,y'=-1</math> ונקבל:
<math>x''(2)=\frac{(1-2)4-(0)(0+2)}{16}=-\frac{1}{4}</math>