שינויים
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:
\underlinebegin{הערה:remark}
אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה.
\textitend{הוכחה:remark} \begin{proof}
נגדיר את המטריצה
$$P=\left(\begin{matrix}
0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0
\end{matrix} \right )$$)(כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים().
קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$.
נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים
$$\left(\begin{matrix}
0 & &1 \\
& \dots & \\
& \dots & \\
1 & &0
\end{matrix} \right )=$$$$=
\left ( \begin{matrix}
0 & & c_{nn}\\
& \ddots & \\
\star & & c_{11}
\end{matrix} \right )$$. \end{proof}
משתמש אלמוני
