כעת ננסה לראות מה קורה אם אנו מפרקים את המרחב לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, ומסתכלים על מטריצה מייצגת של אופרטור. כך יתחברו שלושה מושגים שלמדנו לאחרונה - מטריצה אלכסונית בלוקים, סכום ישר ומרחבים אינווריאנטיים.
\textbfbegin{למה:lem}
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור לינארי.
\item יהי $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים. יהי $B_i$ בסיס של $U_i$ לכל $i=1,\dots,k$. נסמן $B=B_1\cup\dots\cup B_k=\bigcup_{i=1}^kB_i$. אזי
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}\left[T \right ]_{B_1}\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline \left[T \right ]_{B_k} \end{array}\end{matrix} \right )$$
\item אם $B$ בסיס של $V$, ואם
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_1 \\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & A_k\begin{array}{|c}\hline A_1 \end{array}\end{matrix} \right )$$אזי אפשר לחלק את $B$ לאיחוד זר $B=B_1\cup\dots\cup B_k$, כך ש-$\operatorname{Span}\left(B_i\right)=U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ (העובדה ש-$V=\oplus U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ נובעת מהאיחוד של $B_i$).
אזי אפשר לחלק את $B$ לאיחוד זר $B=B_1\cup\dots\cup B_k$, כך ש-$span\left(B_i\right)=U_i$ לכל $i=1,\dots,k$ )העובדה ש-$V=\oplus U_1\oplus\cdots\oplus U_k$ נובעת מהאיחוד של $B_i$(.end{enumerate}
\end{enumeratelem}
\textitbegin{הוכחה:proof}
\begin{enumerate}
\item עבור $k=1$ אין מה להוכיח. נניח ש-$k\ge 2$, ונשתמש באינדוקציה לפי $k$.
\underlinebegin{description} \item[בסיס האינדוקציה} - ] $k=2$. כלומר, $V=U_1\oplus U_2$, $B_1$ בסיס ל-$U_1$ ו-$B_2$ בסיס ל-$U_2$. נסמן $B_1=\left \{ v_1,\dots,v_r \right \}$ ו-$B_2=\left \{ u_1,\dots,u_s \right \}$. אזי $$B=B_1\cup B_2=\left \{ v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}$.$
נחשב את $\left[T\right]_B$.
$U_1$ תת-מרחב אינווריאנטי, ולכן לכל $i=1,\dots,r$,
$T\left(v_i\right)\in U_1$, ומכאן ש-$$\left[T\left(v_i \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B_1} \\
0
r\\
s
\end{matrix}$.$
באופן דומה, לכל $j=1,\dots,s$,
$$\left[T\left(u_j \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix}
0\\
\left[T\left(u_j \right ) \right ]_{B_2}
r\\
s
\end{matrix}$.$
בסך הכל, קיבלנו שמתקיים
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}
\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B},\dots,\left[T\left(u_s \right ) \right ]_B
\end{matrix} \right )=$$$$=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B_1} & \cdots & \left[T\left(v_r \right ) \right ]_{B_1} & & 0 & \\ \hline & 0 & & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_{B_2} & \cdots & \left[T\left(u_s \right ) \right ]_{B_2}\end{array}\end{matrix}\right)$$
\underline{item[צעד האינדוקציה} - ] נניח כי $V=\left(U_1\oplus\cdots\oplus U_{k-1}\right)\oplus U_k$, וכן $B=\bigcup_{i=1}^kB_i$. לפי המקרה $k=2$ שהוכחנו,$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} \left[T \right ]_{B_1\cup\dots\cup B_{k-1}} & 0\\ \hline0 & B_k\end{array}\end{matrix} \right )\overset{\textrm{hypothesis}}{=}\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}\left[T \right ]_{B_1}\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline \left[T\right]_{B_k} \end{array}\end{matrix} \right )$$כדרוש.
$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\left[T \right ]_{B_1\cup\dots\cup B_{k-1}} &0 \\ 0 & \left[T \right ]_{B_k}\end{matrixdescription} \right )\overset{\textrm{induction hypothesis}}{=}\left(\begin{matrix}\left[T \right ]_{B_1} & & & 0\\ & \ddots & & \\ & & \left[T \right ]_{B_{k-1}} & \\ 0 & & & \left[T \right ]_{B_k}\end{matrix} \right )$ כדרוש.
\item נתונה המטריצה המייצגת $$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_1 \\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & A_k\begin{array}{|c}\hline A_1 \end{array}\end{matrix} \right )$ $יחסית לבסיס $B$ כלשהו.
עבור $k=1$ אין מה להוכיח. נניח $k\ge2$, ונשתמש באינדוקציה לפי $k$.
\underlinebegin{בסיס האינדוקציהdescription} - $k=2$, כלומר
\item[בסיס האינדוקציה] $k=2$, כלומר$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}A_1 & 0\\ \hline
0 & A_2
\end{array} \end{matrix} \right )$$
נניח $A_1\in M_r\left(\mathbb{F}\right)$ ו-$A_2\in M_s\left(\mathbb{F}\right)$. נסמן את איברי $B$ כך: $$B=\left \{v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}$, $ונגדיר $B_1=\left \{v_1,\dots,v_r \right \}$,
$B_2=\left \{u_1,\dots,u_s \right \}$,
$U_1=span\operatorname{Span}\left(B_1\right)$ ו-וכן $U_2=span\operatorname{Span}\left(B_2\right)$. אזי: $$\left(\begin{matrix}
\left[T\left(v_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(v_r \right ) \right ]_B & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(u_s \right ) \right ]_B
\end{matrix} \right )=\left[T \right ]_B=$$$$=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}A_1 & 0\\ \hline
0 & A_2
\end{array} \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c}A_1e_1 & \cdots & A_1e_r & & 0 & \\ \hline & 0 & & A_2e_1 & \cdots & A_2e_s\end{array} \end{matrix} \right )$$
אם כן, על פי שוויון כל עמודה, לכל $i=1,\dots,r$,
$\left[T\left(v_i\right)\right]_B=A_1e_i$,
וכן לכל $j=1,\dots,s$,
$\left[T\left(u_j\right)\right]_B=A_2e_j$.
כלומר, לכל $v_i\in B_1$, מתקיים $T\left(v_i\right)\in span\operatorname{Span}\left(B_1\right)=U_1$, ולכן לכל $v\in U_1$ מתקיים $T\left(v\right)\in U_1$, זאת אומרת ש-$U_1$ תת-מרחב אינווריאנטי. באופן דומה, גם $U_2$ אינווריאנטי, כדרוש.
\underline{item[צעד האינדוקציה} - ] נתונה המטריצה המייצגת $$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_1 \\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k\end{array}\end{matrix} \right )=\left(\begin{matrixarray}{c|c}\\& \tilde{A} & & 0\\\\&hline 0 && A_k\end{matrixarray} \right )$$
מהמקרה $k=2$ שהוכחנו, נקבל חלוקה של $B$ לאיחוד זר $B=\tilde{B}\cup B_k$, כך ש-$\tilde{U}=span\operatorname{Span}\tilde{B}$ ו-$U_k=span\operatorname{Span}\left(B_k \right )$ הם תתי-מרחבים אינווריאנטיים. לפי הנחת האינדוקציה, נחלק את $\tilde{B}$ לאיחוד זר, $\tilde{B}=B_1\cup\dots\cup B_{k-1}$, שעבורו $U_i=span\operatorname{Span}\left(B_i\right)$ תתי-מרחבים אינווריאנטיים לכל $i=1,\dots,k-1$, כדרוש. \end{description}
\end{enumerate}
\end{proof}
מהמשפט הזה נגיע למספר מסקנות חשובות.
\textbfbegin{מסקנה:cor}
אם $B$ בסיס של $V$ כך ש-$\left[T\right]_B$ אלכסונית בלוקים,
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_1 \\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k\end{array}\end{matrix} \right )$$
אזי לכל $\sigma\in S_k$ קיים בסיס $B'$ של $V$ שעבורו
$$\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_{\sigma\left (1 \right )}\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & A_\begin{array}{|c}\hline A__{\sigma\left ( k \right )} \end{array}\end{matrix} \right )$$
\textitend{הוכחה:cor} \begin{proof}
מהחלק השני של הלמה הקודמת, קיימת חלוקה של $B$ ל-$k$ חלקים זרים, כך שהמטריצה המייצגת תהיה
$$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_1 \\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k\end{array}\end{matrix} \right )$$
נסדר את החלקים $B'=B_{\sigma\left(1 \right )}\cup\dots\cup B_{\sigma\left(k \right )}$. לפי החלק הראשון של הלמה, נקבל
$$\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|}A_{\sigma\left (1 \right )}\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left ( k \right )} \end{array}\end{matrix} \right )$$
\textbfend{מסקנה:proof}
שתי מטריצות אלכסוניות בעלות אותן בלוקים בסדר שונה דומות זו לזו; לכל $\sigma\in S_k$,begin{cor}
שתי מטריצות אלכסוניות בעלות אותן בלוקים בסדר שונה דומות זו לזו; לכל $\sigma\in S_k$,$$=\left(\begin{matrix}A_\begin{array}{c|}A_1\sigma\left (1 \right )hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & A_\begin{array}{|c}\sigmahline A_k \left ( k \right )end{array}
\end{matrix} \right )\sim\left(\begin{matrix}
A_1 \begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & A_k\begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left(k\right)} \end{array}\end{matrix} \right )$$
\textitend{הוכחה:cor} \begin{proof}
שתי המטריצות הן מייצגות של אותו אופרטור $T$ יחסית לבסיסים שונים.
\end{proof} נזכיר כי ברצוננו למצוא לכל אופרטור בסיס, שבו המטריצה המייצגת תהיה מצורה מסוימת )(שקול: לכל מטריצה למצוא מטריצה דומה מהצורה הזו(). כעת ברור שאם נצליח לפרק את המרחב שלנו לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, אזי נוכל להגיע לצורה אלכסונית בלוקים. בחלק הבא, לאחר הלמה שנוכיח מיד, נמצא את המרחבים האלו, ולאחר מכן נראה מהם הבלוקים.