שינויים
<textbf>משפט:</textbf> $\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.
$\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה. <textit>הוכחה:<\/textit>
$\Leftarrow$
נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$.
נסמן $v=\left (\begin{matrix}v_{1} & v_1\\\vdots & \\v_{n} & \\v_n\end{matrix}\right )$, וכן $A=\left (\begin{matrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} & \\\vdots & \ddots & \vdots & \\vdotsa_{n1} & \cdots & a_{nn} & \\\end{matrix}\right )$. נוכל להגיד שלפיכך $\biggleft \{ \begin{gatheredmatrix}a_{11}v_{1}v_1+\ldots cdots+a_{1n}v_{n}v_n=0 \\\vdots \\a_{n1}v_{1}v_1+\ldots cdots+a_{nn}v_{n}v_n=0 \\\end{gatheredmatrix}\right.
$ היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.
$\Rightarrow$
נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.
משתמש אלמוני
