שינויים
\textbfbegin{משפט:thm}
$\lambda=0$ ערך עצמי של $A$ אם ורק אם $A$ איננה הפיכה.
\textitend{הוכחה:thm}
\begin{proof} \begin{description} \item[$\boxed{\Leftarrow}$]
נניח $\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$. זאת אומרת שקיים וקטור $v\ne 0$ שעבורו $Av=0$.
נסמן $$v=\left ( \begin{matrix}
v_1\\
\vdots \\
v_n
\end{matrix} \right )$, וכן $\quad A=\left ( \begin{matrix}
a_{11} & \cdots &a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \\ \vdots
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{matrix} \right )$. $נוכל להגיד שלפיכך $$\left \{ \begin{matrix}
a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\
\vdots\\
a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0
\end{matrix} \right.
$ $היא מערכת הומוגנית (בת $n$ משוואות מ-$n$ נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן $A$ אינה הפיכה.
\item[$\boxed{\Rightarrow}$]
נניח ש-$A$ הפיכה. נתבונן במערכת $Av=0$. יש לה פתרון לא טריוויאלי $v\ne 0$, ולכן מתקיים $Av=0=0\cdot v$, זאת אומרת ש-$\lambda =0$ הוא ע"ע של $A$.
\end{description}
\end{proof}
משתמש אלמוני
