\textbfbegin{משפט:thm}
לכל מטריצה $A\in M_k\left(\mathbb{F}\right)$ קיים פולינום מאפס.
\textitend{הוכחה:thm} \begin{proof}
נתבונן במרחב הווקטורי $V=M_k\left(\mathbb{F} \right )$,
נתבונן בקבוצה של איברי $V$ הבאה: $\left\{ I,A,A^2,\dots,A^\ell \right \}$.
בקבוצה הזו יש $\ell+1$ איברים, אך המימד של $V$ הוא $\ell$, ומכאן שהיא תלויה לינארית. לכן, קיימים סקלרים $a_0,a_1,\dots,a_\ell\in\mathbb{F}$ )(לא כולם שווים אפס(), כך שמתקיים $$a_0I+a_1A+\cdots+a_\ell A^\ell=0$.$
נגדיר פולינום $f\in\mathbb{F}\left[x\right]$,
$f=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$.
עבורו $f\neq 0$ )(כי לא כל הסקלרים הם אפס(), וכן $f\left(A\right)=0$ )לפי הבנייה(, כדרוש. \end{proof}