נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.
'''===תרגיל.'''===
נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.
לכן R הינו יחס סדר חלקי.
שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?
=== יחס סדר מילוני ===
יהיו <math>(A,\leq),(B,\preceq)</math> שתי קבוצות סדורות חלקית.
על <math>A\times B</math> ניתן להגדיר את <math>היחס המילוני</math> ע"י
<math>(a_1,b_1)R(a_2,b_2)\iff (a_1 < a_2) \lor (a_1 = a_2 \land b_1 \preceq b_2)</math>