פתרון: נסמן A אני עייף, B אני רעב, C אני עצבני, D אני הולך לישון
ההצרנה <math>[(A\land B)\to (C\lor D)]\and[(C \land \lnot A)\to B]</math>
==טאוטולוגיות==
הגדרה : טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו.
למשל <math>A \or \neg A</math>
הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>)
אם הביטוי <math>A \iff B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה)
תרגיל: הוכח באמצעות טבלאות אמת שניתן להציג את הקשרים 'גרירה' ו'וגם' באמצעות 'או' ושלילה בלבד
פתרון:
מתקיים <math>A\to B \equiv \neg A \or B</math>
ומתקיים <math>A \and B \equiv \neg(\neg A \or \neg B)</math>
הוכח את הבאים:
* <math>\ \neg(A \or B) \equiv \neg A \and \neg B</math>
* <math>\ A\or (B \and C ) \equiv (A \or B ) \and (A \or C)</math>
* <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \vee B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv ((A \wedge B)\vee((\neg A)\wedge (\neg B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)</math>.
* <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>.
הערה (טרמינולוגיה):
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \iff A</math>
===דרכי הוכחה===
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
*<math>(A\rightarrow B) \iff (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
*<math>A \iff(\neg A \rightarrow F)</math>
*<math>(A\lor B) \iff(\neg A \rightarrow B)</math>
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)
דוגמאות מילוליות:
* בשביל להוכיח את הטענה ש "אם מישהו יכתוב בדיחה במבחן במקום תשובה אז הוא יקבל ניקוד חלקי" ניתן להוכיח באופן שקול כי " אם מישהו לא קיבל ניקוד חלקי במבחן אז זה אומר שהוא לא כתב בדיחה במבחן במקום תשובה"
* בשביל להוכיח את הטענה ש "הגובה שלי נמוך מ- 3 מטר" אפשר להוכיח באופן שקול כי הגובה שלי לפחות 3 מטר ולהגיע לסתירה. למשל הטיעון הבא: "אם הגובה שלי לפחות 3 מטר, אז הראש שלי היה נוגע בתקרה. כיוון שהוא לא נוגע בתקרה, זו סתירה ולכן איני בגובה 3 מטר"
===פרדיקטים וכמתים===
לעומתה הטענה השניה טוענת שניתן למצוא סטודנט אחד (לפחות) שהוא חרוץ (אם רוצים להוכיח את הטענה צריך למצוא סטודנט שהוא חרוץ ואם רוצים להוכיח כי הטענה לא נכונה צריך לעבור בין כל הסטודנטים ולוודא שהם אינם חרוצים
הצרן: לכל מספר p גדול מ-1: (p ראשוני) אמ"מ (אם הוא מחלק מכפלת מספרים אז הוא מחלק את אחד המספרים).
הערה: אחרי שמכמתים על כל משתני הפרדיקט מקבלים פסוק ללא משתנים.
הערה: שמות המשתנים אינם חשובים למשל עבור הפרדיק <math>S(x,y)</math> המוגדר <math>x\leq y</math> הפסוק <math>\forall x\forall y S(x,y)</math> הוא זהה לפסוק
<math>\forall t\forall s S(t,s)</math>
הערה: סדר הכמתים כן משתנה (לפעמים) למשל <math>\exitst x\forall y S(x,y)</math> לא שקול לפסוק <math>\forall y \exitst x S(x,y)</math>
נשים לב כי בשביל לקבוע אם הפסוק <math>\forall x P(x)</math> אנחנו צריכים לדעת איזה x ים "חוקיים" (בהנחה שאנחנו יודעים את P) ומכאן שנעבור להגדרות הבאות.
*הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB
==טאוטולוגיות==
הגדרה : טאוטולוגיה הינה ביטוי שנכון תמיד ללא תלות בערכים שמציבים בו.
למשל <math>A \or \neg A</math>
הגדרה: נאמר שביטוי <math>A</math> שקול טאוטולוגית לביטוי <math>B</math> (ונסמן <math>A \equiv B</math>)
אם הביטוי <math>A \iff B</math> הינו טאוטולוגיה (במילים: A קורה אמ"מ B קורה)
תרגיל: הוכח באמצעות טבלאות אמת שניתן להציג את הקשרים 'גרירה' ו'וגם' באמצעות 'או' ושלילה בלבד
פתרון:
מתקיים <math>A\to B \equiv \neg A \or B</math>
ומתקיים <math>A \and B \equiv \neg(\neg A \or \neg B)</math>
הוכח את הבאים:
* <math>\ \neg(A \or B) \equiv \neg A \and \neg B</math>
* <math>\ A\or (B \and C ) \equiv (A \or B ) \and (A \or C)</math>
* <math>\ (A\rightarrow B) \equiv ((\neg A) \vee B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv ((A \wedge B)\vee((\neg A)\wedge (\neg B)</math>.
* <math>\ (A \leftrightarrow B) \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)</math>.
* <math>\ (A \rightarrow B) \equiv ((\neg B) \rightarrow (\neg A))</math>.
הערה (טרמינולוגיה):
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ל A פירושו הוא <math>A \to B</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי מספיק ל A פירושו הוא <math>B \to A</math>
*כאשר אומרים ש B הוא תנאי הכרחי ומספיק ל A פירושו הוא <math>B \iff A</math>
דוגמאות מילוליות:
* מי שלא לומד בסמסטר נכשל במבחן אמ"מ מי שלא נכשל במבחן למד בסמסטר
===דרכי הוכחה===
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
*<math>(A\rightarrow B) \iff (\neg B \rightarrow \neg A)</math>
*<math>A \iff(\neg A \rightarrow F)</math>
*<math>(A\lor B) \iff(\neg A \rightarrow B)</math>
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)
דוגמאות מילוליות:
* בשביל להוכיח את הטענה ש "אם מישהו יכתוב בדיחה במבחן במקום תשובה אז הוא יקבל ניקוד חלקי" ניתן להוכיח באופן שקול כי " אם מישהו לא קיבל ניקוד חלקי במבחן אז זה אומר שהוא לא כתב בדיחה במבחן במקום תשובה"
* בשביל להוכיח את הטענה ש "הגובה שלי נמוך מ- 3 מטר" אפשר להוכיח באופן שקול כי הגובה שלי לפחות 3 מטר ולהגיע לסתירה. למשל הטיעון הבא: "אם הגובה שלי לפחות 3 מטר, אז הראש שלי היה נוגע בתקרה. כיוון שהוא לא נוגע בתקרה, זו סתירה ולכן איני בגובה 3 מטר"
==שלילת פסוקים==