שינויים
/* שאלה ממבחן */
===שאלה ממבחן===
א. תהי <math>A </math> קבוצה לא ריקה ותהי <math>\{R_i\}_{i\in I}</math> משפחה של יחסי שקילות על <math>A</math>. הוכיחו כי החיתוך הכללי <math>R=\cap_{i\in I}R_i</math> הינו יחס שקילויות על <math>A</math>.
ב. נסמן <math>R_n=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}:n|(x-y)\}</math>. מהם <math>R_1,R_2,R=\cap_{n\in\mathbb{N}}R_n</math>? מהן קבוצות המנה <math>\mathbb{Z}/R,\mathbb{Z}/R_1,\mathbb{Z}/R_2</math>?
====פתרון====
א. רפלקסיביות: מאחר ו -<math>\forall a\in A\forall i\in I : (a,a)\in R_i</math> נובע ש -<math>\forall a\in A: (a,a)\in R</math>.
סימטריות: נניח <math>(x,y)\in R</math> לכן <math>\forall i\in I:(x,y)\in R_i</math> ולכן נובע מסמטריות היחסים ש <math>\forall i\in I:(y,x)\in R_i</math> ולכן <math>(y,x)\in R</math>.
<math>R_2</math> הינו אוסף כל הזוגות בהם שני הצדדים זוגיים או שני הצדדים אי זוגיים, שכן ההפרש בינהם חייב להיות זוגי.
<math>R </math> הינו אוסף הזוגות שההפרש בינהם מתחלק בכל המספרים הטבעיים. רק הפרש אפס יכול להתחלק בכל מספר, ולכן <math>R </math> הינו אוסף הזוגות מהצורה <math>(q,q) </math> עבור <math>q </math> מספר שלם. (יחס השיוויון.).
