שינויים

* כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>A</math>::* <math>C(A)</math> היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-<math>A[a,b]</math>.:* <math>\mbox{Mo}אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (A)</math> - מונוטוניות.למשל::* "<math>\mbox{MO}(A)f</math> - מונוטוניות במובן הצר.:* חסומה" = "<math>\mbox{Bo}(A)f</math> - חסומות.::* החסם העליון של פונקציה חסומה ב-<math>\mbox{Bo}(I)</math> הוא <math>M</math> והתחתון - <math>m</math>.:* <math>\mbox{Po}(A)</math> - אי-שליליות.::* <math>\mbox{PO}(A)</math> - חיוביות.:* <math>\mbox{INT}(A)</math> - אינטגרביליות.::* <math>\mbox{Int}(A)</math> - אינטגרביליות מקומית.* אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל[a, הפונקציה הקדומה של <math>f</math> היא <math>Fb]</math>").

:* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו-<math>\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math>.

* אם <math>\forall f\in\mbox{Bo}(</math> חסומה ב-<math>[a,b]):\ </math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.* אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.* לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.* לכל <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.* תהי <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>חסומה. אזי <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.* נניח ש-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>חסומה. <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.* נניח ש-<math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math>חסומה. <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.* אם <math>f\in C([a,b])</math> רציפה אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>אינטגרבילית.:* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f\in C(</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b))</math> אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>אינטגרבילית.::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b])</math> כאשר <math>A</math> קבוצה סופית רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>אינטגרבילית.* אם <math>f\in\mbox{Mo}([a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>מונוטונית אזי היא אינטגרבילית. * נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}(</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b])\cap\Big(\mbox{INT}(</math>, ב-<math>[a,c])\cup\mbox{INT}(</math> וב-<math>[c,b])\Big)</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.

* אם <math>f\in\mbox{Bo}([a,b])</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.

* '''לינאריות:''' עבור <math>\forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ </math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.* '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.:* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b])</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית אז <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.* אם <math>f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b])</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M</math> ו-<math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.

* '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f\in\mbox{INT}([a,b])</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F\in C([a,b])</math> רציפה וכן לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>F'=f</math>).* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f\in C([a,b])</math>רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.* לכל <math>f\in C([a,b])</math> רציפה יש פונקציה קדומה.

* נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f\in\mbox{Po}([a,b])</math> אי-שלילית בין <math>a</math> ל-<math>b</math> סביב ציר ה-<math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f^2</math>.* הממוצע של אם <math>f\in C([a,b])</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>.* אורך הגרף של אם <math>f\in C([a,b])</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f\in C([a,b])</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.<!--* תהא <math>f\in C^</math> בעלת נגזרת <math>n([a,b])</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית חסומה ע"י <math>\int\limits_a^b R_n=\int\limits_a^b \frac{f^{(n+1)}(c)x\frac{b^{n+12}-a^{n+2}}{(n+12)!}\mathrm dx</math>.* -תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math>כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>.* תהינה תהא <math>f,g</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\inDelta x_k=h</math>. אזי <math>\mboxint\limits_a^b f\approx h\frac{INTf(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\infty)left|f''(x)\right|</math>.* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+cg4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\mboxleft|f^{INT(4)}(x)\right|</math>.* תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.* תהא <math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty))</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי <math>f\in\mbox{INT}(</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty))</math> אם"ם <math>f\in\mbox{INT}(</math> אינטגרבילית ב-<math>[b,\infty))</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>.* <math>f\in\mbox{Mo}_\text{up}(</math> מונוטונית עולה ב-<math>[a,\infty))</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.* <math>f\in\mbox{Int}(</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>.* '''מבחן ההשוואה:''' נניח ש-<math>f,g\in\mbox{Int}(</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g\in\mbox{Int}(</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty))</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.

* '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f\in\mbox{Po}([k</math> אי-שלילית,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}(מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty))</math> עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי <math>f\inint\mbox{INT}([k,limits_k^\infty))f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.

* תהא <math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty))</math>. אזי <math>f\inint\mbox{INT}([a,limits_a^\infty))f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>.* תהא <math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty))</math>. אם <math>|f|\in\mbox{INT}([a,\infty))</math> אז אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>אינטגרבילית בו.* '''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f\in C(</math> רציפה ב-<math>[a,\infty))</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math>. כמו כן תהא <math>g\in\mbox{Mo}(</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty))\cap C^1([a,\infty))</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty))</math>מתכנס.

* אם <math>f,g\in\mbox{INT}(</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b])</math> אז אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b])</math>, <math>f\in\mbox{INT}((a,b])</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f\in\mbox{INT}(</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c])</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.* תהי <math>f\in\mbox{Mo}(</math> מונוטונית ב-<math>(a,b])</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f\in\mbox{Bo}(</math> חסומה ב-<math>(a,b])</math>.* אם <math>f\in\mbox{Po}(</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> אז <math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b])</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.* '''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g\in\mbox{Po}(</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-<math>(a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>g\inint\mbox{INT}((a,limits_a^b])g</math> אז מתכנס אזי <math>f\inint\mbox{INT}((a,limits_a^b])f</math>מתכנס.* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g\in\mbox{Po}(</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b])\cap\mbox{Int}((a,b])</math> וקיים <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>g\inint\mbox{INT}((a,limits_a^b])g</math> מתכנס אז <math>f\inint\mbox{INT}((a,limits_a^b])f</math>מתכנס.

* תהא <math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b])</math>. אזי <math>f\inint\mbox{INT}((a,limits_a^b])f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.* תהא <math>f\in\mbox{Int}(</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b])</math>. אם <math>\int\limits_a^b |f|\in\mbox{INT}((a,b])</math> מתכנס אז <math>f\inint\mbox{INT}((a,limits_a^b])f</math>מתכנס.