'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math>(פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.
::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>
אם כך, מתקיים כי
::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן
::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math> ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.