5. '''חוג הפולינומים''' (בלי להגדיר "חוג"). אם F שדה, אוסף הפולינומים במשתנה אחד מעליו, עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות של פולינומים, נקרא '''חוג הפולינומים''' מעל F, ומסמנים אותו בסימון <math>\ F[x]</math> (או <math>\ F[y]</math>; שם המשתנה אינו חשוב). כל איבר של <math>\ F[x]</math> נקרא "פולינום מעל F". אם <math>\ F \subset K</math> תת-שדה, אז יש הכלה טבעית <math>\ F[x] \subset K[x]</math>, ולכן כל פולינום מעל F הוא באופן אוטומטי גם פולינום מעל K.
6. '''המעלה'''. המעלה היא פונקציה <math>\ F[x]\rightarrow \mathbb{N}\cup \{-\infty\}</math>, המוגדרת לפי החזקה העליונה הנוכחת בפולינום. פולינום ממעלה אפס נקרא '''סקלר'''. פונקציית המעלה מקיימת: <math>\ \deg(fg) = \deg(f)+\deg(g)</math> ו- <math>\ \deg(f+g) \leq \max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>.
7. '''חילוק עם שארית'''. לכל פולינום <math>\ g \neq 0</math>: לכל פולינום f אפשר לכתוב <math>\ f = q g + r</math>, כאשר <math>\ q,r </math> פולינומים המקיימים <math>\ \deg(r) < \deg(g)</math>.