שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
קישור לבחינה עצמה: [http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88132/4ef1a82d352a5.pdf המבחן]
'''הוכחה:א.'''הראה שאם <math>\{a_n\}_{n=1}^\infty</math> סדרה המקיימת לכל <math>n</math> : <math>\Big|a_{n+1}-a_n\Big|<b_n</math> וכן <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n<\infty</math> אזי הסדרה מתכנסת.
;הוכחהאם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n<\infty </math> וגם <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל מלעיל ולכן מתכנסת.
נוכיח כי הסדרה הינה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.
יהי <math>\varepsilon epsilon>0</math>. לפי קריטריון קושי קיים <math>M\in \mathbb{N}</math> כך שלכל <math>p\in \mathbb{N} </math> מתקיים <math>\left|\displaystyle\sum_{ik=M}^{M+p}b_{i}b_k\right|<\varepsilon epsilon</math>.
יהיו <math>n,m>M</math>, אזי:
<math>|a_\begin{nalign}|a_n-a_{m}a_m|&=\bigg|a_{n}a_n-a_{n-1}+a_{n-1} - .... \cdots+ a_{m+1}-a_{m}a_m\bigg|\leq \&\le\Big|a_{n}a_n-a_{n-1}\Big| + \Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big| +....\cdots+\Big|a_{m+1}-a_{m}a_m\Big|\leq \&\le b_{n-1}+b_{n-2}+...\cdots+b_{m}b_m=\sum_{ik=m}^{n-1}b_{i}b_k\leq le\sum_{ik=M}^{n-1}b_{i}b_k<\varepsilon epsilon\end{align}</math>
הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.
;דרך אחרת
נשים לב כי <math>a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)</math> , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי <math>\sum b_n</math> כך גם <math>a_n</math> מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.
'''ב.''' אם הטור <math>\sum_sum\limits_{n=1}^{\infty }b_{n}b_n</math> אז קיימת סדרה <math>\left \{a_{n} \right a_n\}_{n=1}^{\infty }</math> המקיימת לכל <math>n </math>: <math>\Big|a_{n+1}-a_{n}a_n\Big|<b_{_{n}}b_n</math> וגם מתבדרת.
==שאלה 2==
בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:
'''א.''' <math>\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}</math> ;פתרוןראשית נבדוק התכנסות בהחלט:<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math> <math>\ln(n)>1</math> לכל <math>n\ge3</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\frac1n\le\frac{\ln(n)}{n}</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n}</math> מתבדר. ידוע <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0</math> (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ: נביט בפונקציה <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math> , מספיק להראות כי <math>f'(x)\le0</math> כאשר <math>x\ge3</math> . <math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\ge e</math> ובפרט עבור <math>x\ge3</math> . ' ''ב.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right)</math> ;פתרוןנראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי <math>\frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to1</math> ולכן הטורים חברים. מכיון <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> מתכנס אז גם <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right)</math> . ולכן הטור מתכנס בהחלט. '''ג.''' <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}}</math> ;פתרון נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר <math>\begin{align}\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\to\frac{4}{e^2}<1\end{align}</math> ולכן הטור מתכנס בהחלט! ==שאלה 3==ציטוט משפטים ==שאלה 4==יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים: '''א.''' <math>f(x)=x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math> נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש: <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=0</math> , חסומה כפול 0. <math>\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות. '''ב.''' <math>f(x)</math> מסעיף א' בקרן <math>(1,\infty)</math> בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש: <math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=1\cdot 0=0</math> <math>\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1)</math> . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות. '''ג.''' <math>g(x)=\sin(x^2)</math> רבמ"ש בקרן <math>(0,\infty)</math> נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה <math>h(x)=\arcsin(x)</math> רציפה בתחום <math>[-1,1]</math> ולכן רבמ"ש בו. מכיון שהתחום <math>[-1,1]</math> הנו התמונה של <math>g</math> , ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט). לכן <math>(h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2</math> רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול. ;פתרון נוסף (עם סדרות) נגדיר את שתי הסדרות הבאות: <math>x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}</math> ואת הסדרה <math>y_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> ונמשיך מכאן... ==שאלה 5==<math>f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases}</math> צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה. ;פתרוןנתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות. הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: <math>2-x=\frac{1}{x}</math>
נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: <math>x=1</math> , '''בנקודה זו הפונקציה רציפה.'''
כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח <math>(2-x)'(1<ln)=(n)</math> לכל <math>3\leq n</math> ולכן לכל <math>n</math> שכזה מתקיים: <math>\fracfrac1{1x}{n}\leq \frac{ln(n)}{n}</math> ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיוון שהטור ההרמוני מתבדר אז <math>\sum\frac{ln'(n1)}{n}</math> מתבדר.מנימוקים דומים, כלומר:
<math>f'(2-x)'(1)=-1=-\frac{1-ln}{1^2}=\left(x)-\frac{1}{x^2}</math> וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור <math>x\geq e</math> ובפרט עבור <math>right)(1)=\left(\frac{1}{x}\geq 3right)'(1)</math>.
'''ולכן הפונקציה גזירה בנקודה''' <math>x=1</math> .
==שאלה 6=='''בא.''' <math>\sum (-1)^nsin(\frac{1}{n^2})</math>
'''ג.'''