נוספו 2,331 בתים,
06:05, 17 ביוני 2012 == 1. ==
ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה.
===א===
מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל הבית]
===ב===
קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: <math>\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}sin(e^{n}x)=0</math>. (חסומה כפול 0)
נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup:
<math>0\leq \lim_{n \to \infty} \text{sup}|\frac{sin(e^{n}x)}{n}-0|\leq \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0</math>
ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0.
===ג===
<math>\lim_{n \to \infty}nsin(\frac{x}{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}x\frac{sin(\frac{x}{n})}{\frac{x}{n}}=x</math>
לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל<math>f(x)=x</math>.
נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים:
<math>\int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt \to \int_{0}^{x}tdt</math> כאשר <math>n \to \infty</math>, ואפילו במ"ש.
אולם מתקיים,
<math>\int_{0}^{x}nsin(\frac{t}{n})dt=n^{2}cos(\frac{x}{n})-n^{2} \to 0\neq \int_{0}^{x}tdt=\frac{x^{2}}{2}</math>
ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש.
===ד===
מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c/09Infi2sol10.pdf תרגיל הבית].
'''דרך אלטרנטיבית:'''
ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: <math>\lim_{n \to \infty}x \cdot arctan(nx)=\frac{\pi}{2} x</math>.
על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: <math>[1, \infty),[0,1]</math>.
'''בקטע הסגור,''' נוכל להפעיל את [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%93%D7%99%D7%A0%D7%99 משפט דיני] (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!).
'''בקטע הפתוח שנותר,''' נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש.
<math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>.