<math>f(x,y)=x^3y^2(1-x-y)=x^3y^שאלה 2-x^4y^2-x^3y^3</math> הגרדיאנט הוא: <math>\nabla f = (3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3,2x^3y-2x^4y-3x^3y^2)</math> אם נשווה אותו ל <math>(0,0)</math> ונקבל: <math>3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3 = 0</math> <math>2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0</math> נקבל שאם <math>x=0</math> או <math>y=0</math> שתי המשוואות מתקיימות. אם <math>x\neq 0 ,\quad y\neq 0</math>, נקבל שהמשוואות הן: <math>3-4x-3y=0</math> <math>2-2x-3y=0</math> הפתרון של המערכת הזאת הוא: <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן: <math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math> עכשיו צריך לסווג מטריצת ההסיאן היא:<math>\begin{bmatrix}6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y\end{bmatrix}</math> כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי. אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב):<math>\begin{bmatrix}\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\-\frac{1}{12} & -\frac{1}{8}\end{bmatrix}</math> המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום. עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות. נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>. נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>. אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>). אז <math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math> אם <math>y_0>1</math> אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math> אם <math>y_0<1</math> אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math> בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון. נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>. אם נתקדם לאורך הישר <math>y=1</math> נקבל ש <math>f(x,1)=-x^4</math> ולכן <math>x=0</math> היא מקסימום לאורך הקו הזה. אבל אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-2x+1</math> נקבל ש <math>f(x,-2x+1)=x^3(-2x+1)^2(x)=x^4(-2x+1)^2</math> נקבל ש <math>x=0</math> היא נקודת מינימום לאורך הקו הזה. לכן <math>(0,1)</math> היא גם נקודת אוכף. סיכום ביניים: כל ציר <math>y</math> הוא נקודות אוכף. כעת נעבור לציר <math>x</math>. כלומר נחקור נקודות מהצורה <math>(x_0,0)</math>. אם <math>x_0>1</math> אז קיימת סביבה של <math>(x_0,0)</math> שבה <math>1-x-y<0</math> ולכן באותה סביבה מתקיים ש <math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>f(x_0,0)=0</math> היא נקודת מקסימום. אם <math>0<x_0<1</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\geq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מינימום אם <math>x<0</math> אז קיימת סביבה שבה <math>1-x-y>0</math> ואז <math>x^3y^2(1-x-y)\leq 0</math> ולכן <math>(x_0,0)</math> היא מקסימום. כבר ראינו שהנקודה <math>(0,0)</math> היא נקודת אוכף (היא על ציר <math>y</math>). נותר לבדוק את הנקודה <math>(1,0)</math>. נתקדם לאורך הישר <math>x=1</math> ונקבל <math>f(1,y)=-y^3</math> שזאת פונקציה עם נקודת פיתול ב <math>y=0</math>. לכן <math>(1,0)</math> היא נקודת אוכף. לסיכום: נקודות קריטיות: <math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math> מתוכן: מקסימום: <math>\{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}\cup \{(x,0)\mid x>1 \or x<0\}</math> מינימום: <math>\{(x,0)\mid 0<x<1\}</math> אוכף: <math>\{(0,y)\}\cup\{(1,0)\}</math>