<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?
נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac {x}{\sqrt x}\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-רציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.
f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1{\sqrt{x-\pi}}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1{\sqrt\pi}\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1{\sqrt\pi}\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1{\sqrt\pi}\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}{\sqrt{x-\pi}}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}
'''הגדרה:''' נניח שיש לנו סדרת פונקציות <math>\{u_n\}_{n=1}^\infty</math> על I. אפשר לבנות טור <math>\sum_{n=1}^\infty u_n(x)</math> כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)</math> וה-<math>\{S_N\}_{N=1}^\infty</math> סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-<math>S_N</math>, לפי ההגדרה, <math>J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)</math>.
==דוגמאות==
# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.