שינויים

 טור חיובי הינו הנו טור שכל איבריו אבריו אי -שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על -ידי נוסחאת נוסחת הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+a_{N+1}</math>, רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה: ::<math>S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0ge0</math> 

יהיו <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum sum_{n=1}^\infty b_n</math> טורים חיוביים כך ש - <math>\forall n:a_n\geq ge b_n</math>

::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתכנס.

::אם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> מתבדר אזי גם <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתבדר.

;הוכחה:.נסמן את סדרת סדרות הסכומים החלקיים של :<math>\sum a_n</math> ב<math>displaystyle\begin{ A }_{ N align}A_N:&=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } </math> ובדומה <math>{ B }_{ N }a_k\\B_N:&=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }b_k\end{ b_{ k } align} </math>. לפי הנתון הטור <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים M ממשי כך ש<math>{ A }_{ N }\displaystyle A_N=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } a_k\le M</math>עבור <math>M</math> כלשהוא.

אבל לכל n מתקיים <math>{ a }_{ \forall n }:a_n\ge { b }_{ n }b_n</math>, ולכן:<math>{ B }_{ N }\displaystyle B_N=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ b_{ k } } b_k=b_{ 1 }b_1+...\cdots+b_{ N }b_N\le a_{ 1 }a_1+...\cdots+a_{ N }a_N=\sum _sum_{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } a_k=A_{ N }A_N\le M</math>, כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n</math> חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: <math>a\rightarrow to b\equiv \bar { b } \rightarrow to\bar { a } </math>.