שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.
נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי שאברי הסדרה יתקרבו אחד לשניזה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>סדרה <math>a_n</math> נקראת '''הגדרה.סדרת קושי'''אם לכל <math>\varepsilon>0</fontmath> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m,n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>
סדרה במילים, אם לכל מרחק <math>a_n\varepsilon</math> נקראת קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''סדרת קושיכל שני אברים''' אם לכל <math>\epsilon>שואף ל-0</math> קיים <math>N_\epsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-a_m|<\epsilon</math>, אזי הסדרה הנה סדרת קושי.
במילים, אם לכל מרחק <math>\epsilon</math> קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין '''כל שני אברים''' שואף לאפס, אזי הסדרה הנה סדרת קושי;משפט'''משפט.''' מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}dfrac1{2^n}</math> . הוכח ש- כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
;פתרון
נוכיח ש- כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.  <math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le</math> <math>\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|<</math> <math><\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]</math> (לפי הנתון)
לפי הנתון:<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\fracBig|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2^}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\left[Big|\frac\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\fraccdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-n}1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1-}}=\fracdfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\frac{1}dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\fracfrac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac{1}frac1{2^n}-\frac{1}dfrac1{2^m}\le\frac{1}dfrac1{2^n}\to0\end{align}</math>
225
עריכות