שינויים
==סדרות קושי==
הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול <math>L</math> . אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו <math>\sqrt2</math> בשדה הרציונאלים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאלים.
נגדיר אפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי שאברי הסדרה יתקרבו אחד לשניזה לזה, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.
;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>סדרה <math>a_n</math> נקראת '''הגדרה.סדרת קושי'''אם לכל <math>\varepsilon>0</fontmath> קיים <math>N_\varepsilon\in\N</math> כך שלכל <math>m,n>N_\varepsilon</math> מתקיים <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math>
ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת ל- <math>\sqrt2</math> , שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.
;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש- <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}dfrac1{2^n}</math> . הוכח ש- כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
;פתרון
נוכיח ש- כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת. <math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\le</math> <math>\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\cdots+|a_{n+1}-a_n|<</math> <math><\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]</math> (לפי הנתון)
לפי הנתון:<math>\begin{align}|a_m-a_n|&=\fracBig|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2^}+\cdots+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\left[Big|\frac\&\le|a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+\fraccdots+|a_{n+2}-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_n|\\&<\dfrac1{2^m}+\dfrac1{2^{m-n}1}}+\cdots+\dfrac1{2^{n+1-}}=\fracdfrac1{2^{n+1}}\left[\frac1{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\frac{1}dfrac1{2^{n+1}}\left[\dfrac{1-\fracfrac1{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac1{2^n}\left[1-\frac1{2^{m-n}}\right]=\frac{1}frac1{2^n}-\frac{1}dfrac1{2^m}\le\frac{1}dfrac1{2^n}\to0\end{align}</math>