שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
תת-סדרה מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים (לא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:
;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה '''עולה ממש''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>). אזי <math>a_{n_k}</math> הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .
הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין <math>n_in_k</math> לבין <math>n_{ik+1}</math> לכל i<math>k</math>).
;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.'''</font>
תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> נקרא '''גבול חלקי''' של הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה <math>a_{n_k}\to L</math> .
''';משפט.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי <math>L</math> '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilonvarepsilon>0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\epsilonvarepsilon</math> .
במילים, '''קיימים''' אינסוף אברים מהסדרה הקרובים לגבול כרצוננו, אך לא '''כל''' האברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו (אחרת הוא היה גבול מלא ולא חלקי).
''';משפט.''' סדרה מתכנסת לגבול <math>L</math> אם"ם כל תתי -הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>L</math> .
'''מסקנה.''' אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>K</math> וקיימת תת-סדרה שאינה מתכנסת לגבול <math>K</math> אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.
 ''';משפט בולצאנו ויירשטראס.''' לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת.
'''[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]'''. (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.)
''';משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול <math>L</math> . אזי כל תת -סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> .
''';הוכחה.''' לפי הגדרת הגבול, לכל <math>\epsilonvarepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)
;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> מצא את '''כל''' הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(-1)^n\left(5-\frac{4}dfrac4{2^n}\right)</math>
;פתרון
נביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math>
נביט בתת הסדרה המורכבת מהאיברים הזוגיים <math>a_{2k}=(5-\frac{4}{2^{2k}}\to5-0=5</math> באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם חמש ומינוס חמש <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה?
נניח בשלילה שהיה גבול חלקי אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.
;<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא.'''</font> 
לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים:
:<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>
:<math>1,1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots</math>
;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font>
מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים.
;פתרון
 
נסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף.
בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.
225
עריכות