שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/חסמים

נוספו 440 בתים, 12:32, 16 בפברואר 2017
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול|חזרה לרשימת הנושאים]]
=חסמים=
'''הגדרה:''' תהי <math>U </math> סדורה ותהי תת-קבוצה <math>A\subseteq U</math> , אזי:*<math>M\in U</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\le M</math>*<math>m\in U</math> נקרא '''חסם מלרע''' של <math>A </math> אם <math>\forall a\in A:a\ge m</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''מקסימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''מינימום''' אם הוא שייך לקבוצה <math>A</math>*חסם מלעיל של <math>A </math> נקרא '''החסם העליון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלעיל קטן ממש ממנו. (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.)*חסם מלרע של <math>A </math> נקרא '''החסם התחתון''' של <math>A </math> אם אין ל-<math>A </math> חסם מלרע גדול ממש ממנו. (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.)
שימו לב לשלילות הבאות:
*<math>M </math> אינו חסם מלעיל אם"ם קיים אבר <math>a>M</math>*<math>m </math> אינו חסם מלרע אם"ם קיים אבר <math>a<m</math>*<math>M </math> אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.*<math>m </math> אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.
'''אקסיומת השלימות של המספרים הממשיים''' - לכל <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).
ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתיםמ- <math>\sqrt2</math>). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים ל- <math>\sqrt2</math> הקטן ממנו (שכן שורש שתים <math>\sqrt2</math> עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.
''';משפט.''' תהי <math>A\subseteq\R</math> חסומה מלעיל אזי:*<math>M </math> חסם עליון של <math>A </math> '''אם"ם''' <math>M </math> חסם מלעיל של <math>A </math> וגם לכל <math>0<\epsilon\in\Rvarepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a>M-\epsilonvarepsilon</math>*<math>m </math> חסם תחתון של <math>A </math> '''אם"ם''' <math>m </math> חסם מלרע של <math>A </math> וגם לכל <math>0<\epsilon\in\Rvarepsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש- <math>a<m+\epsilonvarepsilon</math>
'''במילים:''' <math>M </math> חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את <math>M </math> בגודל כלשהו שאינו אפס 0 נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר אבר בקבוצה הגדול ממנו.(ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)
''';הוכחה.''' נניח <math>M </math> חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-<math>M </math> חסם מלעיל. נותר להוכיח כי:<math>\forall\epsilonvarepsilon>0,\exists a\in A:a>M-\epsilonvarepsilon</math>נניח בשלילה כי קיים <math>\epsilonvarepsilon>0</math> כל שלכל האברים <math>a\in A</math> מתקיים <math>a\le M-\epsilonvarepsilon</math> .
לכן, לפי ההגדרה, <math>M-\epsilonvarepsilon</math> הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון מכיון שאפסילון גדול מאפסמ-0, <math>M-\epsilonvarepsilon</math> הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון <math>M</math> , בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.
''';תרגיל.''' תהי <math>A=\left\{\frac{1}dfrac1{n^2} + 2(-1)^n\Big|n\in\N\right\}</math> מצא חסם עליון, חסם עליון, מינימום ומקסימום (אם הם קיימים).
ראשית, נביט במספר אברים מהקבוצה על מנת לקבל הערכה כלשהי: <math>A=\left\{-1,2\frac{1}{4}dfrac14,-1\frac{8}{9}dfrac89,2\frac{1}dfrac1{16},\dotsldots\right\}</math>
אנחנו מעריכים כי שתים ורבע הוא מקסימום (ולכן גם חסם עליון, הרי מקסימום הינו הנו תמיד חסם עליון אם הוא קיים), ואנו מעריכים כי מינוס שתים הינו 2- הנו חסם תחתון שאינו בקבוצה ולכן אין מינימום. נוכיח את כל זה.
*נוכיח כי שתים ורבע חסם מלעיל (ואז מכיוון שהוא בקבוצה הוא מקסימום ולכן חסם עליון). צ"ל שכל אבר בקבוצה קטן או שווה לו, ולכן צ"ל שלכל <math>n </math> טבעי מתקיים:<math>\frac{1}dfrac1{n^2}+2(-1)^n\le 2le2+\frac{1}{4}dfrac14</math>
עבור <math>n=1 </math> זה ברור. אם <math>n\ge 2ge2</math> ניתן לומר:<math>\frac{1}dfrac1{n^2} + 2(-1)^n\le\frac{1}dfrac1{n^2}+2\le 2le2+\frac{1}{4}dfrac14</math>
*כעת נוכיח כי מינוס שתים הינו חסם מלרע, כלומר לכל n טבעי מתקיים:
:<math>\frac{1}dfrac1{n^2}+2(-1)^n>-2</math>
אבל
:<math>\frac{1}dfrac1{n^2}+2(-1)^n\ge\frac{1}dfrac1{n^2}-2>-2</math>
*כעת נוכיח כי בנוסף, לכל אפסילון חיובי <math>\varepsilon>0</math> קיים אבר <math>a </math> בקבוצה כך ש- <math>a<-2+\epsilonvarepsilon</math> .
יהי אפסילון גדול מאפס<math>\varepsilon>0</math> , צ"ל <math>n </math> טבעי כך ש::<math>\frac{1}dfrac1{n^2}+2(-1)^n<-2+\epsilonvarepsilon</math>
מכיון שצריך להראות ש'''קיים''' <math>n </math> טבעי אחד כזה, מספיק בפרט למצוא אחד כזה אי -זוגי. לכן ננסה למצוא :<math>\fracbegin{1align}\dfrac1{(2k+1)^2}+2(-1)^{2k+1}<-2+\epsilonvarepsilon\\\dfrac1{(2k+1)^2}-2<-2+\varepsilon\\2k+1>\sqrt{\dfrac1{\varepsilon}}\end{align}</math>
:תמיד ניתן למצוא <math>\frac{1}{(2k+1)^2}-2<-2+\epsilonk</math>טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משל.
:<math>2k+1>\sqrt{\frac{1}{\epsilon}}</math>
תמיד ניתן למצוא k טבעי כזה אחרת קבוצת הטבעיים הייתה חסומה, משללכן הוכחנו כי <math>\sqrt2</math> הנו חסם תחתון.נותר להוכיח כי לא קיים מינימום
*נוכיח כי החסם התחתון <math>\sqrt2</math> אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים <math>n</math> טבעי כך ש:
:<math>\dfrac1{n^2}+2(-1)^n=-2</math>
לכן הוכחנו שמינוס שתים הינו חסם תחתון. נותר להוכיח כי לא קיים מינימום *נוכיח כי החסם התחתון מינוס שתים אינו שייך לקבוצה ולכן לא קיים מינימום (אחרת הוא היה חסם תחתון). כלומר, נוכיח כי לא קיים n טבעי כך ש::<math>\frac{1}{n^2}+2(-1)^n=-2</math> אבל כבר הראנו הראינו שאברי הקבוצה גדולים ממש ולא שווים למינוס שתיםל-2-.
225
עריכות