שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
''';דוגמא'''.מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא: *<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: *<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>  ''';פתרון''':.על -מנת לפתור את אי השיוויון -השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x </math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
 
===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
 *<math>x^2-1\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 1ge1</math> '''או''' <math>x \leq le-1</math>
*<math>x-2\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 2ge2</math> 
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
*עבור <math>x\ge2</math>
*עבור מתקיים <math>x^2-1\geq ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>
מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0</math>    *עבור <math>1\leq le x < 2</math> '''או''' <math>x\leq le-1</math>   מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
*עבור <math>-1<x<1</math>
מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
מתקיים ===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===נבדוק עבור אילו ערכי <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>xמתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-2< 0</math>השוויון.
*עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>
===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===נבדוק עבור אילו נמצא מהם ערכי <math>x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים </math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון.-השוויון:
:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
*עבור <math>x\geq 2</math> אי השיוויון נראה כך:
ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם
::<math>x^2-1>\dfrac{3+x-\sqrt{41}}{2>4x+5}</math>
::<math>x^2-3x-8>0</math>
נמצא מהם לכן ערכי <math>x ש</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גםאינם''' מקיימים את אי השיוויון:-השוויון הם
:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
ערכי x אשר כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם -השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
::*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\frac{3+le-1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\sqrtbegin{41align}}{x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math>
מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
לכן ערכי :<math>x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי השיוויון הם \le-1</math>
::ואילו ערכי <math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:
    כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:  *עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math> אי השיוויון נראה כך:  ::<math>x^2-1-(x-2)>4x+5</math> ::<math>x^2-5x-4>0</math>  מסתבר שערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם: ::<math>x\leq -1</math>  ואילו ערכי x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי השיוויון הם: ::<math>1\leq le x < 2</math>
נסיים במקרה הנותר:
*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>
*עבור <math>-1<x<1</math> אי השיוויון נראה כך:
ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
::<math>-1<x^2+1<\dfrac{\sqrt{17}-x+5}{2>4x+5}</math>
::ואילו ערכי <math>-x^2-5x-2 > 0</math>בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
 ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם: ::<math>-1<x<\fracdfrac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>  ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם: ::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{-2}\leq le x<1</math>
===סיכום התוצאות===
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
אי השיוויון מתקים עבור ערכי x הבאים:   * <math>\begin{align}x&> \fracdfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>    * <math>\\x&<\fracdfrac{5-\sqrt{17}-5}{-2}\end{align}</math>
225
עריכות