שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

הוסרו 200 בתים, 22:05, 16 בפברואר 2017
==1==
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1=0</math> .
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .
*<math>(x^2+1)(x^2-1)(x^2 +1)\leq 0le0</math>נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2+1</math> , <math>x^2-+1</math> , <math>x^2-1</math> , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x= \pm 1pm1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי בכאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
<math>x^2</math> : מתאפס ב0 ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות <math>x=0 , \pm 1pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי -השוויון.
פתרון: <math>-1 \leq le x \leq 1le1</math>
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math> כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .
השאלה היא מתי מכפלה של <math>n </math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x </math> מספר שלם בין 1 לnל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרוןאיננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x < 1 , 1<x<2 , ... \ldots, n<x</math>. בתחום האחרון, <math>n<x</math> , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
<math>n </math> זוגי: אם <math>x קטן מ1, <1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n </math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>ik<x<ik+1</math> עבור i בין <math>1 לn\le k\le n-1</math> . אם i <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n </math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי -זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור <math>n </math> זוגי היא:: <math>x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... \ldots, 2i 2k< x < 2i2k+1 , ... \ldots, n-2 < x < n-1 , n<x</math>
עבור <math>n </math> אי -זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i\ldots,2k-1<x<2i 2k, ... \ldots, n-2 < x < n-1, n < x</math>
*<math>|x|\leq 7le7</math>נחלק למקרים: אם <math>x \geq 0ge0</math> נקבל את אי -השוויון <math>|x|\leq 7le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq le x \leq 7le7</math>
אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq le x < 0</math>
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
 פתרון: <math>-7 \leq le x \leq 7le7</math>
*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>1 /over 2x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים:
<math>x \geq {1 ge\over 2}tfrac12</math> : אי -השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} tfrac12\leq le x < 4</math>
<math>x < {1 \over 2}tfrac12</math> : אי -השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}tfrac12</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון: <math>-3 < x < 4</math>
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
נחלק למקרים:
<math>x>1</math> : אי -השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2(x-2x 2)> 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור כאשר <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
<math>x<1</math> : אי -השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-(x-1)^2 +2x <-2 > 01</math> ביטוי זה אף פעם לא . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: <math>x>2</math>
*<math>\frac{|x|}{x} > 1</math>נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math>. אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x\over }{x} > 1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x \over }{x} >1</math> וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף <math>x </math> לא מקיים את אי -השוויון
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>.
<math>x \leq le-1</math> : נקבל אי -שוויון <math>-(x-1) > x^2 - 1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2 +x -2 < 0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2 < x < 1</math> . סה"כ: <math>-2 < x \leq le-1</math>
<math>-1 < x \leq 1le1</math> : נקבל אי -שוויון <math>-(x-1) > -(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2 -x > 0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x > 1</math> לכן סה"כ: <math>-1 < x < 0</math> .
<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: ונקבל <math>x^2 -(x -1)< 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: <math>-2 < x < 0</math>
*<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math>הביטוי הריבועי מתאפס ב - <math>2 \pm \sqrt{7}sqrt7</math> . נחלק למקרים:
<math>x \leq 2le2-\sqrt{7}sqrt7</math> : <math>x < 0</math> או <math>x > 8</math> לכן סה"כ <math>x \leq 2 le2- \sqrt{7}sqrt7</math>
<math>2-\sqrt{7} sqrt7< x \leq 1le1</math>: <math>-\sqrt{6} sqrt6< x < \sqrt{6}sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt{7}sqrt7<x\leq 1le1</math>
<math>1 < x \leq 2le2</math> : <math>1-\sqrt{5}sqrt5<x<1+\sqrt{5}sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1 < x \leq 2le2</math>
<math>2 < x \leq 2 le2+ \sqrt{7}sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2 < x < 4</math>
<math>x > 2+\sqrt{7}sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>
==2==
 
נגדיר שתי פונקציות
:<math>\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}</math>
::מצא עבור אילו ערכי <math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x<0\end{cases}</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:   ::*<math>g(x)=\begin{cases}x-1 & x>1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases}le0</math>   מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים: 
* <math>g(x)\leq 0</math>
נפריד למקרים:
225
עריכות