שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גבול פונקציה

הוסרו 55 בתים, 01:35, 16 ביוני 2017
<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>
;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x</math> המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\epsilonvarepsilon</math>.
(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math>.)
הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל- <math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל- <math>L</math> .
;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim\limits_{x\to 2to2}\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>
''';פתרון.'''יהי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\left|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\epsilonvarepsilon</math>
נפתח את הביטוי:
:<math>\left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|</math>
אנו רואים כי כאשר <math>x\to 2to2</math> המונה שואף לאפס, ל-0 והמכנה ל- <math>3</math> . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מאפסמ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.
כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:
:<math>\left|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\fracdfrac{|x(x-2)|}{2}</math>
כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:
:<math>\left|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\fracdfrac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}dfrac32\delta</math>לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}dfrac23\epsilonvarepsilon</math> עבורו מתקיים::<math>\left|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\frac{3}{2}dfrac32\delta=\epsilonvarepsilon</math>
==גבול פונקציה לפי היינה==
225
עריכות