שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח

נוספו 176 בתים, 19:46, 19 ביוני 2017
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
==שאלה 1 == 
א. הוכח כי כל סדרה מתכנסת חסומה.
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac13,3,\frac13,3,\frac13,3,\ldots</math>
ולכן לא מתכנס. אבל <math>\sqrt[n]{3}\to1</math> וכמובן גם <math>\sqrt[n]{1}\to1</math> ולכן סה"כ <math>\sqrt[n]{a_n}\to1</math> .
==שאלה 2==
:<math>f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}</math>
אבל מתוך מונוטוניות הנגזרת, אנו מקבלים:
:<math>f'(x)\ge f'(c)=\fracdfrac{f(x)}{x}</math>
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
ב. נוכיח כי הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה מונוטונית עולה
:<math>g'(x)=\fracdfrac{x\cdot f'(x)-f(x)}{x^2}</math>
כיון שהמכנה חיובי תמיד, סימן הנגזרת נקבע על-ידי המונה. אבל לפי סעיף א':
:<math>x\cdot f'(x)-f(x)\ge x\cdot\fracdfrac{f(x)}{x}-f(x)=0</math>
==שאלה 3==
א. <math>\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\cdots+2012^n}</math>
ב. <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n</math>, כאשר <math>a_1=1\ ,\ a_{n+1}=\sin(a_n)</math>
ג. <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\Big]</math>
ד. <math>\lim\limits_{x\to1}\Bigleft[\frac{1}dfrac1{x-1}-\frac{1}dfrac1{\ln(x)}\Bigright]</math>
===פתרון===
ג. כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז' כי <math>\biggBig|\sin(x)-\sin(y)\biggBig|\le|x-y|</math> לכן,
:<math>\bigg|\sin\big(\sqrt{x-a}\big)-\sin\big(\sqrt{x}\big)\bigg|\le \biggBig|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}\biggBig|=\Biggleft|\fracdfrac{-a}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\Biggright|\to 0</math>
ד.
:<math>\frac{1}dfrac1{x-1}-\frac{1}dfrac1{\ln(x)}=\fracdfrac{\ln(x)-x+1}{(x-1)\ln(x)}</math>
נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>\fracdfrac{\frac{1}{x}frac1x-1}{\ln(x)+\frac{x-1}{x}}=\fracdfrac{1-x}{x\ln(x)+x-1}</math>
שוב נגזור את המונה ואת המכנה לקבלת:
:<math>-\frac{1}dfrac1{\ln(x)+1+1}\to-\frac12</math>
ולכן לפי כלל לופיטל, זה גם הגבול המקורי.
==שאלה 4==
תהי <math>f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}frac1x\right)</math>
א. האם <math>f</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?
ב. האם <math>f'</math> רציפה במ"ש בתחום <math>(0,\infty)</math>?
ג. הוכח/הפרך: אם <math>g</math> גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(0,\infty)</math> אזי נגזרתה <math>g'</math> חסומה ב-<math>(0,\infty)</math>
===פתרון===
נבחן את הנגזרת בקטע:
<math>f'(x)=2x\cdot\sin\left(\frac1{x}frac1x\right)-\cos\left(\frac1{x}frac1x\right)</math> . כיון שגבולה באינסוף סופי והיא רציפה בכל נקודה בקטע, היא חסומה בקטע <math>[1,\infty)</math>.
כמו כן קל לראות כי היא חסומה בקטע <math>(0,1)</math> (אף על פי שאין לה גבול בנקודה אפס).
ב.<br>
ניקח את שתי הסדרות <math>x_n=\frac1dfrac1{2\pi n}</math>, ו- <math>y_n=\frac1dfrac1{\frac{\pi}{2}+2\pi n}</math> . קל לוודא כי:
:<math>|x_n-y_n|\to 0to0</math>
:<math>\biggBig|f'(x_n)-f'(y_n)\biggBig|\to 1to1</math>
ולכן <math>f'</math> אינה רציפה במ"ש בקטע.
ג.<br>
''';הפרכה''': <math>f(x)=\sqrt{x}</math> רציפה במ"ש בקטע כיון שב- <math>0</math> יש לה גבול סופי ובאינסופי נגזרתה חסומה. אולם הנגזרת שלה <math>f'(x)=\frac1dfrac1{2\sqrt{x}}</math> אינה חסומה בסביבת <math>0</math>.
הפרכה נוספת:
<math>x\cdot\sin\Bigleft(\frac1{x}tfrac1x\Bigright)</math> בעלת גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, ולכן רציפה שם במ"ש. קל לוודא כי נגזרתה אינה חסומה בקטע.
==שאלה 5==
עבור כל אחד מהטורים הבאים קבעו: מתבדר/ מתכנס בהחלט/ מתכנס בתנאי:
א. <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math>
ב. <math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\fracdfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}</math>
ג. <math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\dfrac{\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}</math>
ד. <math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{(n!)^2}</math>
===פתרון===
א.
<math>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}</math>
לכן קל לוודא לפי מבחן ההשוואה הגבולי כי הטורים
:<math>\sum displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\Big)</math>\ , ו- <math>\sum\frac1sum_{n=1}^\infty\dfrac1{\sqrt{n}}</math>
חברים, ולכן הטור אינו מתכנס בהחלט.
ב.<br>
ברור שהחל מ- <math>n=9</math> מתקיים <math>\sqrt{n}\ge 3ge3</math> ולכן:<math>\sumdisplaystyle\fracsum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^\sqrt{n}}\le \fracsum_{n=1}^\infty\dfrac{n+1}{n^3}= \sum sum_{n=1}^\infty\left[\frac1dfrac1{n^2}+\frac1dfrac1{n^3}\right]</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
ג.<br>
בכל מקום זוגי <math>\cos^2\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1</math> ובכל מקום אי-זוגי זה שווה <math>0</math> לכן הטור הוא בעצם הטור המתבדר:<math>\sumdisplaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{2n}</math> .
ד.<br>
נפעיל את מבחן המנה לקבלת:
:<math>\fracdfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fracdfrac{(n+1)^{n+1}(n!)^2}{n^n \big((n+1)!\big)^2}=\biggleft(\fracdfrac{n+1}{n}\biggright)^n\cdot \frac1dfrac1{n+1}\to e\cdot 0 cdot0=0</math>
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
225
עריכות