וכן נסמן <math>(A,\sim)</math> את הקבוצה עם יחס השקילות
דוגמא נוספת:====תרגיל====
נגדיר יחס שקילות R על <math>\mathbb{ZR}</math> ע"י נגדיר שני יחסים <math>S,T</math> באופן הבא: לכל <math>3|(x-,y) \Leftrightarrow xRyin \mathbb{R}</math>:
טענה: R אכן יחס שקילות<math>xSy\iff x-y=17</math>.
הוכחה<math>xTy\iff \exists a\in \mathbb{Z}:x-y=a</math>.
1. רפלקסיביות - נניח האם <math>\forall x\in \mathbb{Z}:3|0=x-xS</math> לכן יחס שקילות? האם <math>xRxT</math> יחס שקילות?
2. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>3|(x-y)</math> ולכן גם <math>3|(y-x)=-(x-y)</math>====פתרון=====
3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(xS</math> לא כיון שלא רפלקסיבי,y)שהרי לכל <math>x\in R] \and [mathbb{R}</math> (y,zובפרט קיים לפחות אחד)<math>x-x=0\neq 17</math>. <math>T</math> כן: רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R]}</math> אזי , ניקח <math>a=0</math> ואז <math>3|(x-x=0=a</math>. סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y)=a \and 3|(Rightarrow y-z) x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math> .ולכן גם טרנזיטיביות: <math>3|(z-xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x)-y=(a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b \Rightarrow x-z=x-y)+(y-x)z=a+b\in \mathbb{Z}</math>. ===מחלקות שקילות וחלוקה===
הגדרה: תהא A קבוצה. '''חלוקה''' של A היא חלוקה של A לקבוצות זרות. באופן פורמלי קיימות תת קבוצות <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>
# לכל <math>x\in A</math> מוגדרת '''מחלקת השקילות של x ''' להיות <math>\bar{x}=[x]_R:=\{y\in A | (x,y)\in R\} </math>
# ''' קבוצת המנה ''' מוגדרת <math>A/R := \{ [x]_R | x\in A\} </math>
למשל, בדוגמא הראשונה <math>A_1,A_2,A_3</math> הן מחלקות השקילות. קבוצת המנה היא <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>
בדוגמא השניה מחלקת השקילות של 0 היא <math>[0]_R=\{ 0 \pm 3 \pm 6 \dots \}</math> וקבוצת המנה היא
<math>\mathbb{Z}/R= \{[0]_R,[1]_R,[2]_R\}</math> (כלומר כל השאריות האפשריות בחלוקה ב-3).
חידוד: מהותו העיקרית של יחס שקילויות הוא לשים לב לשקילות מסוימת בין אברים שונים (כמו שיוויון) ולצמצם את החזרות המיותרות על ידי קיבוץ כל האיברים השקולים לקבוצה אחת.
====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mthbb{R}\times \mathbb{R}</math> והראינו שהוא שקילות. הוכיחו:
א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.
ב. אם <math>x,y\in [0,1)</math> שונים אז <math>[x]_T\neq [y]_T</math>.
ג. לכל <math>\forall x\in \mathbb{R} \exists y\in [0,1): [x]_T=[y]_T</math>.
=====פתרון=====
א. יהי <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math> ונניח בשלילה שקיים <math>q\in \mathbb{Q}\cap [x]_T</math>. נקבל שקיים <math>a\in \mathbb{Z}</math> כך ש <math>x-q=a</math> ולכן <math>x=a+q\in \mathbb{Q}</math> בסתירה (סגירות הרציונאליים).
ב. בה"כ <math>x>y</math> ולכן <math>x-y>0</math> ומאידך, כיון ששניהם בין 0 ל-1 נקבל <math>x-y<1</math>, ולכן ההפרש בהרכח לא שלם, לכן הם לא שקולים.
ג. כל מספר כשמחסרים ממנו את הערך השלם התחתון שלו מקבלים משהו בין 0 ל-1, והם שקולים כי ההפרש הוא הערך השלם התחתון, שהוא, מהגדרתו, מספר שלם.